Grenzwert der Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:23 Do 07.02.2008 | | Autor: | Pidgin |
Gegen welchen Grenzwert konvergiert die Reihe [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty}\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}?
[/mm]
Die Konvergenz hab ich schon mit dem Majorantenkriterium nachgewiesen, aber auf einen Grenzwert komme ich bisher nicht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Do 07.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Pidgin,
> Gegen welchen Grenzwert konvergiert die Reihe
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}?[/mm]
ich weiß nicht, wie Du hier das Majorantenkriterium angewendet haben willst, aber die Reihe ist sicherlich divergent:
Die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\; \frac{2^k}{(k+1)!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{2^{k+1}}{k!}=2*\sum_{k=0}^\infty \frac{2^{k}}{k!}$
[/mm]
ist offensichtlich konvergent (gegen [mm] $2*\sum_{k=0}^\infty \frac{2^{k}}{k!}=2*e^2$). [/mm]
Würde
[mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}[/mm]
konvergieren, so würde das die Konvergenz der Reihe
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\; \frac{k!}{(k+1)!}\equiv\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}= \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k}$
[/mm]
nach sich ziehen, wobei Dir sicherlich bekannt ist, dass letzte Reihe divergiert.
Beachte bitte, dass Dir hier die Abschätzung
[mm] $\frac{2^k-k!}{(k+1)!} \le \frac{2k}{(k+1)!}$
[/mm]
nichts bringt, Du bräuchtest:
[mm] $\vmat{\frac{2^k-k!}{(k+1)!}} \le \frac{2k}{(k+1)!}$
[/mm]
Aber diese Abschätzung wirst Du nicht beweisen können (Dein Fehler liegt vermutlich einfach darin, dass Du nicht beachtest, dass [mm] $2^k-k! [/mm] < 0$ ab einem genügend großen $k$ ist, so ist z.B. schon [mm] $2^4-4!=16-24=-8$, $2^5-5!=32-120=-88$,... [/mm] )
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Do 07.02.2008 | | Autor: | Pidgin |
Der Fehler von mir war, dass ich bei der Majorantenabschätzung den Betrag vergessen habe. Danke für deine blitzschnelle Antwort.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Do 07.02.2008 | | Autor: | Pidgin |
> Würde
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}[/mm]
>
> konvergieren, so würde das die Konvergenz der Reihe
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\; \frac{k!}{(k+1)!}\equiv\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}= \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k}[/mm]
>
> nach sich ziehen, wobei Dir sicherlich bekannt ist, dass
> letzte Reihe divergiert.
Wieso folgt dies? Weil die Reihe [mm] \frac{2^k-k!}{(k+1)!} [/mm] ist doch keine Majorante von [mm] \frac{k!}{(k+1)!}.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Do 07.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Würde
> > [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}[/mm]
> >
> > konvergieren, so würde das die Konvergenz der Reihe
> >
> > [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\; \frac{k!}{(k+1)!}\equiv\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}= \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k}[/mm]
>
> >
> > nach sich ziehen, wobei Dir sicherlich bekannt ist, dass
> > letzte Reihe divergiert.
>
> Wieso folgt dies? Weil die Reihe [mm]\frac{2^k-k!}{(k+1)!}[/mm] ist
> doch keine Majorante von [mm]\frac{k!}{(k+1)!}.[/mm]
nein, das folgt aus den Rechenregeln für konvergente Reihen (die sich aus den Rechenregeln für konvergente Folgen durch Anwendung auf die Folge der Teilsummen, welche eine Reihe ja darstellt):
Wir haben hier eine Reihe der Art
[mm] $\sum_{k=1}^\infty c_k \equiv \sum_{k=1}^\infty {(a_k-b_k)}$
[/mm]
(also: [mm] $c_k=a_k-b_k$ [/mm] für alle $k$)
d.h. wir untersuchen die Folge [mm] $\left( \sum_{k=1}^n c_k \right)_{n \in \IN} \equiv \left( \sum_{k=1}^n (a_k-b_k) \right)_{n \in \IN}$
[/mm]
auf Konvergenz. Dabei wissen wir, dass die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$, [/mm] also die Folge der Teilsummen [mm] $\left( \sum_{k=1}^n a_k \right)_{n \in \IN}$, [/mm] konvergiert.
Dann gilt für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $(\*)$ $\sum_{k=1}^n c_k=\sum_{k=1}^n {(a_k-b_k)}=\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)-\sum_{k=1}^n b_k$
[/mm]
Nun nehmen wir mal an, dass die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty c_k$ [/mm] hier konvergiert.
Ist [mm] $C=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n c_k=\sum_{k=1}^\infty c_k$ [/mm] und [mm] $A=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^\infty a_k$, [/mm] so folgt aus [mm] $(\*)$ [/mm] :
[mm] $\sum_{k=1}^n b_k=\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)-\sum_{k=1}^n c_k \to [/mm] A-C$ bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
D.h., die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty b_k$ [/mm] wäre (gegen $A-C$) konvergent (m.a.W.: die Folge der Teilsummen [mm] $\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)_{n \in \IN}$ [/mm] würde konvergieren) und dann benutzt man das Symbol [mm] $\sum_{k=1}^\infty b_k$ [/mm] (da die Reihe ja konvergiert) in einer weiteren Bedeutung, nämlich im Sinne von
[mm] $\sum_{k=1}^\infty b_k:=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n b_k$
[/mm]
Also, woran Du einfach denken solltest:
Wenn die Reihen [mm] $\sum_{k=0}^\infty x_k$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=0}^\infty y_k$ [/mm] beide konvergieren, so konvergiert auch die Reihe
[mm] $\sum_{k=0}^\infty (x_k+y_k)$
[/mm]
und es gilt dann für den Grenzwert:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty (x_k+y_k)=\left(\sum_{k=0}^\infty x_k\right)+\sum_{k=0}^\infty y_k$
[/mm]
Also, beachte bitte:
Das Symbol [mm] $\sum_{k=0}^\infty z_k$ [/mm] hat ggf. zweierlei Bedeutungen:
1.) Es steht für die Folge der Teilsummen [mm] $\left(\sum_{k=0}^n z_k\right)_{n \in \IN_0}$
[/mm]
2.) Falls die Folge der Teilsummen aus 1.) konvergiert, so bedeutet es zudem:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty z_k=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n z_k$ [/mm]
Also das ganze vielleicht nochmal mit Deiner speziellen Reihe:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}$ [/mm] ist auf Konvergenz zu untersuchen. Das heißt, es wird gefragt, ob
[mm] $\lim_{n \to \infty}\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}$
[/mm]
existiert. Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}=\left(\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{2^k}{(k+1)!}\right)-\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{k!}{(k+1)!}$
[/mm]
[mm] $\gdw \sum\limits_{k=1}^n\; \frac{1}{k+1}=\left(\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{2^k}{(k+1)!}\right)-\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}$
[/mm]
Wie oben gesehen, gilt (alles bei $n [mm] \to \infty$): [/mm]
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{2^k}{(k+1)!} \to 2e^2$
[/mm]
Wäre nun [mm] $\sum\limits_{k=1}^\infty\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}$ [/mm] konvergent, also gäbe es ein $C [mm] \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!} \to [/mm] C$, so folgt:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{1}{k+1}=\left(\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{2^k}{(k+1)!}\right)-\sum\limits_{k=1}^n\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!} \to (2e^2-C) \in \IR$
[/mm]
Widerspruch!
(Da [mm] $\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}=\infty \notin \IR$)
[/mm]
(Bzw. was man oben auch ablesen kann:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^\infty\; \frac{2^k-k!}{(k+1)!}=-\infty$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 07.02.2008 | | Autor: | Pidgin |
> Also, woran Du einfach denken solltest:
> Wenn die Reihen [mm]\sum_{k=0}^\infty x_k[/mm] und
> [mm]\sum_{k=0}^\infty y_k[/mm] beide konvergieren, so konvergiert
> auch die Reihe
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (x_k+y_k)[/mm]
>
> und es gilt dann für den Grenzwert:
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (x_k+y_k)=\left(\sum_{k=0}^\infty x_k\right)+\sum_{k=0}^\infty y_k[/mm]
Ja du hast Recht, die eine Richtung gilt. Aber du hast doch die andere Richtung angewendet und die gilt nicht, da man ja nur absolut konvergente Reihen Umordnen/Auseinanderziehen darf.
Daraus folgt doch, dass diese Begründung nicht stimmt:
In meinem Fall wollte ich doch zeigen, dass (Annahme:) [mm] \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^k-k!}{(k+1)!} [/mm] konvergiert. Du hast dann gesagt dann müsste folgen, dass [mm] \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k!}{(k+1)!} [/mm] konvergieren müsste, was es aber nicht tut. Daraus kann man jetzt, aber meiner Meinung nach nicht schließen, dass [mm] \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^k-k!}{(k+1)!} [/mm] nicht konvergiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Do 07.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Also, woran Du einfach denken solltest:
> > Wenn die Reihen [mm]\sum_{k=0}^\infty x_k[/mm] und
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty y_k[/mm] beide konvergieren, so konvergiert
> > auch die Reihe
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty (x_k+y_k)[/mm]
> >
> > und es gilt dann für den Grenzwert:
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty (x_k+y_k)=\left(\sum_{k=0}^\infty x_k\right)+\sum_{k=0}^\infty y_k[/mm]
>
> Ja du hast Recht, die eine Richtung gilt. Aber du hast doch
> die andere Richtung angewendet und die gilt nicht, da man
> ja nur absolut konvergente Reihen
> Umordnen/Auseinanderziehen darf.
nein, ich rechne ja zunächst mit der Teilsummenfolge, und jedes [mm] $s_n$ [/mm] dort hat nur endlich viele Summanden, also:
Du hast die Folge [mm] $(s_n)_{n \in \IN}$ [/mm] der Teilsummen [mm] $s_n=\sum_{k=1}^n \frac{2^k-k!}{(k+1)!}$ [/mm] auf Konvergenz zu untersuchen. Soweit ist das klar?
Nun:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass
[mm] $(\*)$ $s_n=\sum_{k=1}^n \frac{2^k}{(k+1)!}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}$
[/mm]
und das darf ich machen, da das $n$ ja ein beliebiges, aber festes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist und ich bei endlich vielen Summanden so rechnen darf. Bis hierhin sind wir uns auch einig, oder?
Jetzt sehen wir (wie im ersten Post), dass (im folgenden wieder alles bei $n [mm] \to \infty$):
[/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{2^k}{(k+1)!} \to 2e^2$
[/mm]
Jetzt nehmen wir an, dass [mm] $s_n \to [/mm] C [mm] \in \IR$ [/mm] (so habe ich das ja auch im letzten Post genannt). Aus [mm] $(\*)$ [/mm] erkennen wir, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^n \frac{2^k}{(k+1)!}-s_n$
[/mm]
Das liefert bei $n [mm] \to \infty$:
[/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^n \frac{2^k}{(k+1)!}-s_n \to (2e^2-C) \in \IR$
[/mm]
Das kann aber nicht sein.
P.S.:
Im Prinzip mache ich oben nichts anderes, wie folgenden Satz für Folgen anzuwenden:
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine (gegen $a$) konvergente Folge, und ist [mm] $(b_n)_n$ [/mm] eine Folge, so dass [mm] $(c_n)_n$ [/mm] (gegen $c$) konvergiert, wobei [mm] $c_n$ [/mm] durch [mm] $c_n:=a_n+b_n$ [/mm] für alle $n$ definiert sei, so konvergiert auch die Folge [mm] $(b_n)_n$, [/mm] und zwar gegen $b=c-a$.
Dieser Satz ist nur eine Umformulierung des Satzes:
Konvergieren [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gegen $x$ und [mm] $(y_n)$ [/mm] gegen $y$, so konvergiert auch [mm] $(z_n)_n=(x_n+y_n)_n$ [/mm] gegen $z=x+y$.
Er ist also sogar äquivalent dazu, aber der vorletzte ergibt sich natürlich auch aus dem letzten Satz, und mehr brauchst Du nicht:
Setze [mm] $x_n=-a_n$ [/mm] und [mm] $y_n=a_n+b_n=c_n$. [/mm] Wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ gilt dann [mm] $x_n \to [/mm] -a=:x$, ferner [mm] $c_n=a_n+b_n \to [/mm] c=:y$ nach Voraussetzung, was dann zur Folge hat:
[mm] $b_n=x_n+y_n \to [/mm] x+y=-a+c=c-a$
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Do 07.02.2008 | | Autor: | Pidgin |
Danke für deine Geduld mit mir. Du hast mich nun überzeugt.
Gruß Pidgin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Do 07.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Geduld mit mir. Du hast mich nun
> überzeugt.
okay. Übrigens zu dem Problem mit der Umordnung:
Nimm mal eine Reihe, von der Du weißt, dass sie konvergiert und von der Du eine Umordnung kennst, von welcher Du weißt, dass die umgeordnete Reihe einen anderen Grenzwert hat.
Dann schreibe Dir mal die ersten Glieder der Folgen der Teilsummen auf, und vergleiche diese. Dann siehst Du auch, warum man da ein Problem bekommen kann, denn die Teilsummenfolgen sehen ganz anders aus.
Beispiel:
[mm] $s^{(1)}_{\infty}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\pm...$
[/mm]
Umgeordnete Reihe:
[mm] $s^{(2)}_{\infty}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\pm...$
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
(Beispiel 6.23)
(Wobei ich das von mir gerade eingeführte Symbol [mm] $s^{(k)}_{\infty}$, [/mm] $k=1,2$ etwas "lasch" als Notation für die entsprechende Reihe benutze.)
Du erkennst ja schon, dass [mm] $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=s^{(1)}_3 \not=s^{(2)}_3=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$
[/mm]
Und im Beweis zu Satz 6.24 (abs. konvergente Reihen darf man umordnen) steht etwas drin mit [mm] $\{0,...,N\} \subset \{\phi(0),...,\phi(M)\}$, [/mm] was dort sehr wesentlich ist.
Und wenn Du nochmal hinguckst, wird bei meiner Argumentation "nirgendswo so umgeordnet", dass sich die Teilsummenfolge verändern würde, man kann also nicht wirklich von einer Umordnung sprechen 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
