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| Aufgabe | Grenzwertberechnung von
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}27(-\bruch{1}{3})^{n-1} [/mm] |
Hallo.
In der Lösung steht für den Grenzwert: [mm] \bruch{81}{4}
[/mm]
Aber ich komme nicht drauf.
Ich habe versucht mir das ganze umzuformen:
[mm] =27(\bruch{(-\bruch{1}{3})^n}{-\bruch{1}{3}})
[/mm]
[mm] =27(-3(-\bruch{1}{3})^n)
[/mm]
[mm] =27(-3*\bruch{(-1)^n}{3^n})
[/mm]
[mm] =27(\bruch{3^n}{3^n})
[/mm]
=27
aber ich komme nicht auf das Ergebnis. Wo liegt mein Fehler?
Gruß, Esperanza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Mi 26.07.2006 | | Autor: | volta |
Hallo Esperanza,
das riecht ganz stark nach der geometrischen Reihe.
Verschiebe zunächst den Summationsindex, so daß die Reihe bei n=0 losgeht. Dann kannst du den Grenzwert der geom. Reihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}$ [/mm] nutzen (falls |q|<1).
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>Hallo Esperanza,
>das riecht ganz stark nach der geometrischen Reihe.
>Verschiebe zunächst den Summationsindex, so daß die Reihe bei n=0 >losgeht. Dann kannst du den Grenzwert der geom. Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] $ nutzen (falls |q|<1).
Danke für die rasche Antwort. Nur leider versteh ich das überhaupt nicht. Ich hab so eine Aufgabe noch nie gerechnet und weiß daher nicht wie ich den Summationsindex verschiebe. Kannst du mir das bitte noch etwas genauer erläutern?
Danke, Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Also, dass mit dem Summationsindex ist nicht weiter schwer.
Du hast eine Summe gegeben, die bei n=1 beginnt. Das heißt in deinem FAll ist dein erster Summand: 27 (- [mm] \bruch{1}{3})^0 [/mm]
Weil ja in der Angabe hoch n - 1 steht!
wenn du jetzt deinen Summationsindex auf Null verschiebst also statt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty},
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm]
schreibst, kannst du das n - 1 in ein n umwandeln. Wie du sicher gleich bemerkst ändert sich dadurch nämlich nix an deiner Summe!
Es schaut dann also so aus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 27 (- [mm] \bruch{1}{3})^n [/mm]
Gut und jetzt kannst du natürlich die 27 vor die Summer ziehen und schon siehst du dass es eine geometrische Reihe hast wie von volta beschrieben! :)
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> Also, dass mit dem Summationsindex ist nicht weiter
> schwer.
> Du hast eine Summe gegeben, die bei n=1 beginnt. Das heißt
> in deinem FAll ist dein erster Summand: 27 (-
> [mm]\bruch{1}{3})^0[/mm]
> Weil ja in der Angabe hoch n - 1 steht!
Soweit, sogut....
> wenn du jetzt deinen Summationsindex auf Null verschiebst
> also statt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty},[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm]
>
> schreibst, kannst du das n - 1 in ein n umwandeln.
Da ich ein Neandertaler auf dem Gebiet bin...nochmal zum mitmeißeln....was ist das Ziel dieser Verschiebung?
>Wie du
> sicher gleich bemerkst ändert sich dadurch nämlich nix an
> deiner Summe!
> Es schaut dann also so aus:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] 27 (- [mm]\bruch{1}{3})^n[/mm]
> Gut und jetzt kannst du natürlich die 27 vor die Summer
> ziehen und schon siehst du dass es eine geometrische Reihe
> hast wie von volta beschrieben! :)
Ähm...ja....aber die Sache ist die...wie komme ich jetz auf einen Grenzwert von [mm] \bruch{81}{4}? [/mm] Denn wenn ich für n= [mm] \infty [/mm] einsetze komme ich an dieser stelle doch auf 0 (weil (- [mm] \bruch{1}{3})^n [/mm] geht ja gegen 0 oder? )
Hab da noch nen Hänger.
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Es ist offensichtlich [mm] \summe_{i=1}^{\infty}27(-\bruch{1}{3})^{i-1}=27*\summe_{i=1}^{\infty}(-\bruch{1}{3})^{i-1} [/mm] nach dem Distributivgesetz, das insbesondere für die reellen Zahlen gilt. Wir kennen wie scho die anderen gesagt haben die geometrische Reihe [mm] \summe_{j=0}^{\infty}q^{j}, [/mm] die für |q|<1 gegen [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] konvergiert, für |q|>1 divergiert.
Wir nehmen nun an der Reihe von oben eine Umparametrisierung vor, d.h. setze j=i-1, dann erhalten wir [mm] 27*\summe_{i=1}^{\infty}(-\bruch{1}{3})^{i-1}=27*\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{1}{3})^{j}, [/mm] wobei unser q aus der geometrischen Reihe hier offensichtlich dem [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] entspricht, was vom Betrage her kleiner als 1 ist. Dementsprechend konvergiert diese Reihe gegen [mm] 27*\bruch{1}{1-(-\bruch{1}{3})}, [/mm] was nach Umformung gerade deinem Ergebnis entspricht.
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