Grenzwert beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Di 28.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n!}=\infty [/mm] |
Hallo,
Könnte ich hier nicht einfach das Ganze umschreiben in:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n!^{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{\bruch{ln(n!)}{n}} [/mm] und jetzt reichts ja nur den Exponenten zu betrachten, wenn ich aber de l´Hospital draufloslassen will, hab ich das Problem, dass ich nich weiß wie man n! ableiten könnte, falls das überhaupt möglich is.
Hab auch schon versucht das ganze durch zwei Folgen mit selbem Grenzwert einzuschließen, indem ich als obere Grenze: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n = [mm] \infty. [/mm] Jetzt fehlt mir aber eine untere Grenze, die ich einfach nicht finde.
Hoffe mir kann jmd. weiterhelfen, wär um jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
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Hallo ms2008de,
du könntest die Stirling-Formel verwenden, die dir für große n eine gute Näherung für $n!$ liefert:
[mm] $n!\sim \sqrt{2\pi n}\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n$
[/mm]
Alternativ kannst du zum einen für gerade n wie folgt abschätzen:
[mm] $\sqrt[n]{n!}=\sqrt[n]{\underbrace{n\cdot{}(n-1)\cdot{}...\cdot{}\frac{n}{2}}_{\frac{n}{2} \text{Faktoren}}\cdot{}\underbrace{\left(\frac{n}{2}-1\right)\cdot{}...\cdot{}2\cdot{}1}_{\frac{n}{2} \text{Faktoren}}}\ge\sqrt[n]{\frac{n}{2}\cdot{}\frac{n}{2}\cdot{}...\cdot{}\frac{n}{2}\cdot{}1\cdot{}1\cdot{}...\cdot{}1}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}=\sqrt{\frac{n}{2}}\longrightarrow \infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Ganz ähnlich mache auch eine Abschätzung für ungerade n ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Di 28.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank nochmal,
Hab das ganze für n ungerade nun einfach mit Gaußklammern gelöst so, dass ich n/2 Faktoren aufgerundet hab und ebenfalls wieder so abschätzen konnt, dass [mm] \wurzel{\bruch{n}{2}} \to \infty [/mm] dasteht.
Die Stirlingformel war mir bislang unbekannt.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Mi 29.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit: Betrachte die Potenzreihe
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}$
[/mm]
Mit dem Quotientenkriterium sieht man sehr leicht, dass diese Potenzreihe in jedem $x [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert. Die Potenzreihe hat also den Konvergenzradius [mm] \infty.
[/mm]
Mit der Formel von Cauchy-Hadamard für den Konvergenzradius folgt:
$0 = lim~sup [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n!}}$
[/mm]
Dann ist aber
$lim [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n!}}=0$
[/mm]
und daraus folgt die Behauptung.
FRED
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