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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Sa 27.10.2007 | | Autor: | APinUSA |
| Aufgabe | Bestimme die Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{n \to \infty}\left( \bruch{3n}{3^n} \right)
[/mm]
b) [mm] \limes_{n \to \infty}\left( \bruch{1+2+3+4+...+n}{n^2} \right)
[/mm]
c) [mm] \limes_{n \to \infty}\left( \bruch{1+4+9+...+n^2}{n^3} \right) [/mm] |
Hi Leute, wir haben in Mathe die Aufgabe bekommen die Grenzwerte rechnerisch zu bestimmen. Hat bis jetzt auch kein Problem damit, bis auf die letzten drei Aufgaben.
Bei den Aufgaben b und c, muesste der Grenzwert doch eigendlich gegen Null gehen - weil unten doch das n mit der hoeheren Potenz steht. Rechnerisch hatte ich mir das so ueberlegt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{n^2}\left( \bruch{1/n^2+2/n^2=3^2+..+1/n}{1} \right) \Rightarrow [/mm] die ZF naehert sich 0 [mm] \Rightarrow [/mm] G=0
bei c) waere es das gleiche Prinzip, nur bei a) bin ich mir sehr Unsicher.
a) [mm] \limes_{n \to \infty}\left( \bruch{3n}{3^n} \right)
[/mm]
also 3n wird ja immer groesser, doch [mm] 3^n [/mm] "vermehrt" sich viel schneller {9;27;81...} und so ergibt sich ja das der Grenzwert sich Null annaehert (auch weil das n im Nenner groesser ist) - doch wie Beweis ich das rechnerisch?
Hoffe da kann mir jemand weiterhelfen 
Tschaui Maria
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) ist der GW 0, aber vielleicht musst du das beweisen?
b) und c) hast du mit GW 0 Unrecht, die einzelnen Summanden werden zwar immer kleiner, aber deshalb doch nicht unbedingt ihre Summe!
für die Summe über alle Zahlen von 1 bis n gibts ne Formel, ebenso für die Summe der Quadratzahlen.
die erste kennen die meisten ich hoffe du auch, die zweite weiss ich nie auswendig, steht aber sicher in wiki oder ner Formelsammlung.
die musst du einsetzen.
bei a) brauchst du vieleicht einen Beweis. dass man n so groß machen kan,, dass der Bruch kleiner einem beliebigen [mm] \varepsilon [/mm] ist. welche Eigenschaften von log kennst du ? dann kannst du die Gl. [mm] 3n<\varepsilon*3^n [/mm] logarithmieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Er hat ja gefragt, wie er a) beweisen kann! (ich persönlich weiß es nicht, wenn man nicht gerade den L'Hospital anwenden darf)
Bei b) und c) hilft dir ein umschreiben dieser Summen.
Vielleicht kennst du ja Folgendes:
[mm] 1+2+3+...+n=\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Für 1+4+9+...+n² gibt es auch sowas.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 So 28.10.2007 | | Autor: | APinUSA |
| Aufgabe | | kann mir jemand den genauen Rechenweg fuer die Aufgaben aufstellen? |
Das fuer b und c leuchtet mir jetzt schon irgendwie ein. Sah anscheinend doch einfacher aus als sie wirklich waren.
Die Aufgabe a) rechnerisch zu Beweisen, scheint mir ziemlich unmoeglich, weil ich nicht mal wuesste was man da Ausklammern sollte?
Maria
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 So 28.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) [mm] n/3^{n-1}< \varepsilon [/mm] für n>N
[mm] n<\varepsilon*3^n
[/mm]
logarithmieren, [mm] N(\varepsilon [/mm] angeben.
b)1+2+3+..+n=n*(n+1)/2
[mm] c)1+4+9..+n^2=n^3/3+? n^2+.... [/mm] das ? weiss ich nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 28.10.2007 | | Autor: | APinUSA |
Dankeschoen fuer die hilfe bei a und b..... kann mir jetzt noch jemand c erklaeren??
mfg
Maria
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo APinUSA!
Verwende folgende Formel:
[mm] $$1^2+2^2+3^2+...+n^2 [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2*n+1)}{6}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Do 15.11.2007 | | Autor: | APinUSA |
Danke fuer die Formel, jetzt bin ich auch zum Ergebniss gekommen
Mfg Maria
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