Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Di 01.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2} + 4}{n} [/mm] |
Hallo,
ich soll den Grenzwert bestimmen bzw. sagen ob einer existiert. Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2} + 4}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2} + 4}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n + \bruch{4}{n}}{1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n + [mm] \bruch{4}{n} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert kein Grenzwert. Die Folge ist bestimmt divergent.
Nebenrechnung:
[mm] \bruch{n^{2} + 4}{n} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+\bruch{4}{n})}{n(1)}= [/mm] n + [mm] \bruch{4}{n}
[/mm]
Ist die ganze Schreibweise usw. richtig? Könnte ich das so in der Klausur hinschreiben?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2} + 4}{n}[/mm]
> Hallo,
>
> ich soll den Grenzwert bestimmen bzw. sagen ob einer
> existiert. Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2} + 4}{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2} + 4}{n}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n + \bruch{4}{n}}{1}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n + [mm]\bruch{4}{n}[/mm] = [mm]\infty[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert kein Grenzwert. Die Folge ist
> bestimmt divergent.
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm]\bruch{n^{2} + 4}{n}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+\bruch{4}{n})}{n(1)}=[/mm] n + [mm]\bruch{4}{n}[/mm]
>
>
>
> Ist die ganze Schreibweise usw. richtig? Könnte ich das so
> in der Klausur hinschreiben?
Jo, besser aber noch Klammern um den letzten Limesausdruck ...
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Di 01.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
dankeeeeeeeeeee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Di 01.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ali,
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2} + 4}{n}[/mm]
> Hallo,
>
> ich soll den Grenzwert bestimmen bzw. sagen ob einer
> existiert. Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2} + 4}{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2} + 4}{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n + \bruch{4}{n}}{1}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n + [mm]\bruch{4}{n}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert kein Grenzwert. Die Folge ist
> bestimmt divergent.
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm]\bruch{n^{2} + 4}{n}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+\bruch{4}{n})}{n(1)}=[/mm] n +
> [mm]\bruch{4}{n}[/mm]
>
>
>
> Ist die ganze Schreibweise usw. richtig? Könnte ich das so
> in der Klausur hinschreiben?
ja, das kannst Du so hinschreiben. Warum hast Du da eine Nebenrechnung
gemacht? Das hättest Du auch direkt unterbringen können (ich schreibe
unten [mm] $\lim_n:=\lim_{n \to \infty}$...):
[/mm]
[mm] $$\lim_n a_n=\lim_n \frac{n^2+4}{n}=\lim_n \left(\frac{n}{n}*\frac{n+\frac 4 n}{1}\right)=\lim_n \left(n+\frac{4}{n}\right)=\infty\,.$$
[/mm]
Wenn Du ganz auf Nummer sicher gehen willst:
Du hast ja oben eigentlich insbesondere auch [mm] $a_n [/mm] > [mm] n\,$ [/mm] (oder [mm] $a_n \ge [/mm] n$) für alle
[mm] $n\,$ [/mm] nachgerechnet. Daraus folgt [mm] $\lim_{n} a_n=\infty\,.$ [/mm]
Übrigens ist das so eine Sache bzgl. der Aufgabenstellung: [mm] $(a_n)_n$ [/mm] hat
keinen Grenzwert (als Folge) in [mm] $\IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$ [/mm] oder ...). Nun kann man
sagen: Es ist [mm] $\lim_n a_n=\infty\,,$ [/mm] also hat die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] keinen
Grenzwert (als Folge) in [mm] $\IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$ [/mm] oder ...). Man sagt aber auch,
dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] den uneigentlichen Grenzwert [mm] $\infty$ [/mm] hat, anstatt, dass
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiere. Das hängt also ein wenig
von Euren Definitionen/Sprechweisen ab, ob ihr [mm] $\infty$ [/mm] als Grenzwert
anseht oder eben nicht. Wenn ihr beide Sprechweisen benutzt, sollte der
Aufgabensteller die Frage klarer stellen, etwa: Hat [mm] $(a_n)_n$ [/mm] einen
Grenzwert (als Folge) in [mm] $\IR$? [/mm]
(Wenn es Dich interessiert: Etwa die durch die Iterationsvorschrift
gegebene Folge [mm] $a_{n+1}:=\frac{a_n+2/a_n}{2}$ [/mm] mit [mm] $a_0:=2$ [/mm] gegebene Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] (siehe auch
![[]](/images/popup.gif) Wiki (klick!)) ist eine (Cauchy-)Folge in [mm] $\IQ\,,$ [/mm] die in [mm] $\IQ$ [/mm] divergiert -
als Folge in [mm] $\IR$ [/mm] hingegen ist die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent!)
Gruß,
Marcel
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