Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Fr 03.11.2006 | | Autor: | sedaty |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n+\wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] |
Ich komme irgendwie nicht weiter.
Hab schon erweitert:
[mm] (\wurzel{n+\wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n}) [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n+\wurzel{n}} + \wurzel{n}}{
(\wurzel{n+\wurzel{n}} + \wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}} + \wurzel{n}} [/mm]
Kann man den Nenner jetzt so vereinfachen, dass man den Grenzwert ablesen kann? Weil zur Zeit kann ich nichts daraus folgern.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Jetzt wirds kompliziert, aber dann wollen wir mal^^
[mm]\wurzel{n+\wurzel{n}} - \wurzel{n}[/mm]
[mm] = \bruch{(\sqrt{n+\sqrt{n}} - \sqrt{n})(\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n})}{(\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n})}[/mm]
[mm] = \bruch{n + \sqrt{n} - n}{(\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n})}[/mm]
[mm]=\bruch{\sqrt{n}}{(\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n})}[/mm]
[mm] =\sqrt{\bruch{n}{(\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n})^2}}[/mm]
[mm]=\sqrt{\bruch{n}{((n+\sqrt{n}) + 2*\sqrt{n+\sqrt{n}}\sqrt{n} + n)}}[/mm]
[mm]=\sqrt{\bruch{n}{((2n+ \sqrt{n}) + 2*\sqrt{(n+\sqrt{n})*n})}}[/mm]
[mm]=\sqrt{\bruch{n}{((2n+ \sqrt{n}) + 2*\sqrt{(n^2+n\sqrt{n})})}}[/mm]
[mm]=\sqrt{\bruch{n}{((2n+ \sqrt{n}) + 2*n\sqrt{(1+\bruch{\sqrt{n}}{n})})}}[/mm]
[mm]=\sqrt{\bruch{1}{(2+ \bruch{\sqrt{n}}{n} + 2\sqrt{(1+\bruch{\sqrt{n}}{n})})}}[/mm]
[mm]=\sqrt{\bruch{1}{(2+ \sqrt{\bruch{n}{n^2}} + 2\sqrt{(1+\sqrt{\bruch{n}{n^2}})})}}[/mm]
[mm]=\sqrt{\bruch{1}{(2+ \sqrt{\bruch{1}{n}} + 2\sqrt{(1+\sqrt{\bruch{1}{n}})})}}[/mm]
Und davon solltest du nun den Grenzwert berechnen können 
Gruß,
Gono.
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Hallo sedaty,
die Antwort von Gonozal ist vollkommen richtig doch in meinen Augen viel zu kompliziert.
Wie wärs wenn du einfach im Nenner [mm] \wurzel{n} [/mm] ausklammerst und mit dem Zähler kürzt. Dann kannst du den Grenzwert wie gewollt ablesen ;)
mfg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hi,
du hast recht
Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen net.
[mm](\wurzel{n+\wurzel{n}} - \wurzel{n})*\bruch{\wurzel{n+\wurzel{n}} + \wurzel{n}}{(\wurzel{n+\wurzel{n}} + \wurzel{n}}[/mm]
= [mm]\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}} + \wurzel{n}}[/mm]
[mm]= \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}(\wurzel{1+\wurzel{\bruch{1}{n}}} + 1)}[/mm]
[mm]= \bruch{1}{\wurzel{1+\wurzel{\bruch{1}{n}}} + 1}[/mm]
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