Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)!*n^{n-2}}{(n-2)^n*(n-1)!} [/mm] |
Habe erst einmal vereinfacht:
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*(n+1)*n^{n}*n^{-2}}{(n-2)^n}
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)*n^{n}}{(n-2)^n*n}
[/mm]
Ich habe es mit l'Hospital probiert aber komme nicht auf das richtige Ergebnis. Muss vermutlich anders vorgehen?
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Tja und wie?
So etwas?
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)\cdot{}e^{n*ln(n)}}{(n-2)^n\cdot{}n}
[/mm]
Aber was soll der [mm] ln(\infty) [/mm] sein? Muss ich noch mehr durch e ersetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mo 20.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Tja und wie?
>
> So etwas?
>
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)\cdot{}e^{n*ln(n)}}{(n-2)^n\cdot{}n}[/mm]
>
> Aber was soll der [mm]ln(\infty)[/mm] sein? Muss ich noch mehr durch
> e ersetzen?
Es gilt:
[mm] \bruch{(n+1)\cdot{}e^{n*ln(n)}}{(n-2)^n\cdot{}n}=\frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n*n}
[/mm]
Offensichtlich können wir nun L'Hospital verwenden,
da wir für [mm] n\to\infty [/mm] den Fall [mm] "\frac{\infty}{\infty}" [/mm] erhalten.
Schreibe das also um und verarzte es mit L'Hospital.
DieAcht
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Also deine Umformung verstehe ich.
Beim l'Hospital bekomme ich jetzt aber Zahnstein.
[mm] \frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n\cdot{}n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n^n*(n+1)}{(n-2)^n*n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{e^{n*ln(n)}*(n+1)}{e^{n*ln(n-2)}*n}
[/mm]
Jetzt ableiten
[mm] \bruch{e^{n*ln(n)}*\bruch{1}{n}*(n+1)+e^{n*ln(n)}}{e^{n*ln(n-2)}*\bruch{1}{n-2}*n+e^{n*ln(n-2)}}
[/mm]
Überhaupt richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Di 21.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Also deine Umformung verstehe ich.
>
> Beim l'Hospital bekomme ich jetzt aber Zahnstein.
>
> [mm]\frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n\cdot{}n}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n^n*(n+1)}{(n-2)^n*n}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{e^{n*ln(n)}*(n+1)}{e^{n*ln(n-2)}*n}[/mm]
>
> Jetzt ableiten
>
> [mm]\bruch{e^{n*ln(n)}*\bruch{1}{n}*(n+1)+e^{n*ln(n)}}{e^{n*ln(n-2)}*\bruch{1}{n-2}*n+e^{n*ln(n-2)}}[/mm]
>
> Überhaupt richtig?
Ich habe nicht ohne Grund die Umformung gemacht.
Damit ist die Ableitung einfacher im Zähler.
Ich nehme aber meinen Tipp mit L'Hospital zurück.
denn ich habe es nun 4 mal ohne Erfolg abgeleitet.
Du könntest aber probieren nach oben abzuschätzen.
Das Problem ist, dass man hier sehr aufpassen mit der Abschätzung,
da man sonst bei Unendlich landet..
Zum Beispiel wäre folgendes schon "zu viel":
[mm] \frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n*n}\le\frac{n^{n+1}+n^{n+1}}{(n-2)^n*n}=\frac{2n^{n+1}}{(n-2)^n*n}=2\frac{n^{n}}{(n-2)^n}=2(\frac{n}{n-2})^n [/mm]
Für hinreichend große $n$ müsste aber folgendes funktionieren:
[mm] \frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n*n}\approx(\frac{n}{n-2})^n [/mm]
Dann müsstest du dir nur noch den folgenden Grenzwert angucken:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{n}{n-2})^n =(1-\frac{2}{n})^n=e^2
[/mm]
Ich glaube aber, dass das analytisch "falsch" wäre.
Ich lasse deine Frage mal offen.
Tut mir leid für die Umstände!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Di 21.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Also deine Umformung verstehe ich.
>
> Beim l'Hospital bekomme ich jetzt aber Zahnstein.
>
> [mm]\frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n\cdot{}n}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n^n*(n+1)}{(n-2)^n*n}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{e^{n*ln(n)}*(n+1)}{e^{n*ln(n-2)}*n}[/mm]
>
> Jetzt ableiten
>
> [mm]\bruch{e^{n*ln(n)}*\bruch{1}{n}*(n+1)+e^{n*ln(n)}}{e^{n*ln(n-2)}*\bruch{1}{n-2}*n+e^{n*ln(n-2)}}[/mm]
>
> Überhaupt richtig?
Nein. Siehe Mitteilung.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Di 21.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Eines vorweg: auch ich würde hier nie und nimmer mit l'Hospital draufballern !
>
> Es gilt:
>
> [mm]\bruch{(n+1)\cdot{}e^{n*ln(n)}}{(n-2)^n\cdot{}n}=\frac{n^{n+1}+n^n}{(n-2)^n*n}[/mm]
>
> Offensichtlich können wir nun L'Hospital verwenden,
Wieso ist das offensichtlich ???
Du scheinst die Vor für L'Hospital nicht zu kennen. Die da wären:
Sei I ein nach oben unbeschränktes Intervall und seien $f,g:I [mm] \to \IR [/mm] $differenzierbare Funktionen und sei g'(x) [mm] \ne [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I.
Jetzt kommts: wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \limes_{x\rightarrow\infty}g(x)= \infty [/mm] und wenn
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] ex.,
so ist [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}= \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
FRED
> da wir für [mm]n\to\infty[/mm] den Fall [mm]"\frac{\infty}{\infty}"[/mm]
> erhalten.
>
> Schreibe das also um und verarzte es mit L'Hospital.
>
>
> DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Di 21.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
vergiss den Blödsinn mit l’Hospital, das wird nie was.
Deine letzte Umformung sah doch schon sehr gut aus.
Weiter wird $ [mm] \bruch{(n+1)*n^n}{(n-2)^n*n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-\bruch{2}{n})^n}*\bruch{n+1}{n} [/mm] $
Gruß Sax.
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Öhm, offensichtlich hast du im Nenner aus dem [mm] (n-2)^n [/mm] ein n herausgezogen und das wird dann zu [mm] n^n [/mm] und hast dann gekürzt mit dem Zähler, richtig?
Ich sehe aber irgendwie auch keinen Weg wie ich nun fortfahren soll. Das im Nenner stinkt nach etwas in Richtung e. Aber naja.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Di 21.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Öhm, offensichtlich hast du im Nenner aus dem [mm](n-2)^n[/mm] ein
> n herausgezogen und das wird dann zu [mm]n^n[/mm] und hast dann
> gekürzt mit dem Zähler, richtig?
>
> Ich sehe aber irgendwie auch keinen Weg wie ich nun
> fortfahren soll. Das im Nenner stinkt nach etwas in
> Richtung e. Aber naja.
gut, wenn man so eine feine Nase hat.
Der Nenner des ersten Bruches konvergiert gegen [mm] e^{-2} [/mm] (Standardgrenzwert), der zweite Bruch konvergiert gegen 1. Mit Grenzwertsatz ergibt sich also der gesuchte Grenzwert.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Di 21.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hi Sax,
> Hi,
>
> vergiss den Blödsinn mit l’Hospital, das wird nie was.
Japp, das war Mist, sorry.
> Deine letzte Umformung sah doch schon sehr gut aus.
>
> Weiter wird [mm]\bruch{(n+1)*n^n}{(n-2)^n*n} = \bruch{1}{(1-\bruch{2}{n})^n}*\bruch{n+1}{n}[/mm]
Super Lösung 
> Gruß Sax.
>
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 Di 21.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo SturmGhost,
> vergiss den Blödsinn mit l’Hospital, das wird nie was.
Das sehe ich auch so.
> Deine letzte Umformung sah doch schon sehr gut aus.
>
> Weiter wird [mm]\bruch{(n+1)*n^n}{(n-2)^n*n} = \bruch{1}{(1-\bruch{2}{n})^n}*\bruch{n+1}{n}[/mm]
Mir gefällt [mm] \bruch{(n+1)*n^n}{(n-2)^n*n}=\blue{\left(1+\br{2}{n-2}\right)^{n-2}}*\left(1+\br{2}{n-2}\right)^2*\left(1+\br{1}{n}\right) [/mm] noch besser.
Den blauen Teil solltest Du irgendwoher kennen, und dass alles übrige gegen 1 geht, ist ziemlich offensichtlich.
Das funktioniert natürlich genausogut mit dem Vorschlag von Sax, nur irritiert die ansonsten gleichartige Klammer im Nenner - dabei macht das eigentlich keinen Unterschied.
Grüße
reverend
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