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Grenzwert bei Reihen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Mo 20.12.2004
Autor: SBDevil

Hallo!
Ich hab schon wieder eine Frage.
Wie errechne ich bei Reihen den Grenzwert? ZB bei dieser aufgabe:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)} [/mm]

Wär nett wenn mir da nochmal wer helfen könnte :)

mfg SBDevil

        
Bezug
Grenzwert bei Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mo 20.12.2004
Autor: Hanno

Hallo SBDevil!

In diesem Fall wäre es sinnvoll, einen geschlossenen Ausdruck für die Folgenglieder
[mm] $a_n=\summe_{k=1}^{n}{\frac{1}{n(n+1)}}$ [/mm]
zu finden.

Schreiben wir uns doch mal die ersten Glieder auf:
[mm] $a_1=\frac{1}{2}$ [/mm]
[mm] $a_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ [/mm]
[mm] $a_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$ [/mm]

Welche Vermutung für die geschlossene Darstellung von [mm] $a_n$ [/mm] liegt nahe, wenn du die ersten drei Glieder [mm] $a_1,a_2$ [/mm] und [mm] $a_3$ [/mm] betrachtest?

Wenn du einen Ausdruck für [mm] $a_n$ [/mm] vermutest, dann versuche bitte zu beweisen (z.B. über vollständige Induktion), dass er wirklich der Summe [mm] $\summe_{k=1}^{n}{\frac{1}{n(n+1)}}$ [/mm] entspricht.

Wenn du es soweit geschafft hast, ist das Ganze nur noch ein Kinderspiel, da du lediglich n gegen unendlich gehen lassen musst, um den Grenzwert der Reihe zu bestimmen.

Viel Erfolg!

Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
        
Bezug
Grenzwert bei Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Di 21.12.2004
Autor: FriedrichLaher

Hallo, SBDevil

so allgemein läßt sich Deine Frage nicht beantworten ( Reihensummen sind ebenso wie Integrale, einwenig eine "Kunst"),

zu Deinem Beispiel nehme ich aber an, Iht hattet schon Telekopsummen
und
Du bist mit Partialbruchzerlegung vertraut.

Probier also einwenig.


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