Grenzwert a der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie, falls möglich, den Grenzwert a der Folge (an)neN für
an= [mm] \wurzel{(n+2)}-\wurzel{(n)}
[/mm]
und
an= [mm] (1+1/n+1/4n²)^n [/mm] |
hallo erstmal an alle=)
ich habe irgendwie probleme an die beiden aufgaben heranzugehen! wäre lieb, wenn mir jemand erklären könnte wie ich die beiden grenzwerte bestimmen kann (falls es welche gibt)
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Di 26.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo stierchen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Erweitere den Ausdruck mit [mm] $\left( \ \wurzel{n+2} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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danke für deine schnelle antwort
wenn ich den ausdruck erweitert habe, soll ich dann wie immer das (in dem fall) n ausklammern und anschließend kürzen?
ich hätte dann den lim=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Di 26.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo stierchen!
Diesen Grenzwert habe ich auch erhalten. Ich weiß nur gerade nicht, wo Du hier $n_$ gekürzt hast. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
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ich hab es als bruch geschrieben und konnte dann oben und unten n ausklammern und habe das gegeneinander gekürzt
n*(...)/n*(...)-----> dann kann man n gegen n kürzen! wahrscheinlich zu kompliziert gedacht^^
weißt du zufällig auch wie man den zweiten teil bearbeitet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Di 26.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Nach "Erweitern" ergibt sich:
[mm] \wurzel{n+2}-\wurzel{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{\left(\wurzel{n+2}-\wurzel{n}\right)\left(\wurzel{n+2}+\wurzel{n}\right)}{\wurzel{n+2}-\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\left(\wurzel{n+2}\right)^{2}-\left(\wurzel{n}\right)^{2}}{\wurzel{n+2}-\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{n+2-n}{\wurzel{n+2}-\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{\wurzel{n+2}-\wurzel{n}}
[/mm]
Und jetzt lasse [mm] n\to\infty [/mm] laufen.
Zu Aufgabe 2 fällt mir gerade auch kein Ansatz ein.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Di 26.05.2009 | | Autor: | stierchen |
danke=)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Di 26.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Natürlich meint er auch statt - im Nenner +!
;)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 26.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo stierchen!
Bedenke, dass gilt:
[mm] $$1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{4n^2} [/mm] \ = \ [mm] 1^2+2*\bruch{1}{2n}+\left(\bruch{1}{2n}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{2n}\right)^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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wenn ich diese umformig bei 2) gemacht habe, muss ich dann als weiteren schritt wieder durch das n mit dem höchsten exponenten teilen oder kann ich unmittelbar den grenzwert bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Di 26.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo stierchen!
Mit der Subsitution $k \ := \ 2*n$ solltest Du einen bekannten Grenzwert erkennen.
Gruß
Loddar
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ich muss ehrlich gestehen, dass ich nicht weiß wie ich mit der substitution an den grenzwert kommen soll, was soll ich ersetzten?
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Hallo stierchen,
du kennst doch sicher die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] und ihren GW für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Das ist eine der wichtigsten, wenn nicht die wichtigste Folge überhaupt 
Die hattet ihr bestimmt in der VL ...
Nun hast du nach Loddars eleganter Umformung [mm] $a_n=\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}\right)^n=\left[\left(1+\frac{1}{2n}\right)^2\right]^n=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}$
[/mm]
Mit der Substitution $k:=2n$ gibt das [mm] $\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$
[/mm]
Und mit [mm] $n\to\infty$ [/mm] geht auch [mm] $2n\to\infty$, [/mm] betrachte also [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Di 26.05.2009 | | Autor: | stierchen |
vielen lieben dank euch allen, jetzt hab ichs:)
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