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| Aufgabe | Zeige Konvergenz und bestimme eine Abschätzung für den Grenzwert der Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2+q^n}{2^n+n^2},
[/mm]
|q|<1 |
In der Lösg. lese ich:
F. alle n aus IN ist
[mm] -1
=> [mm] 0\le\bruch{2+q^n}{2^n+n^2}\le3/2^n
[/mm]
Hier soll wahrscheinlich die konvergente geometrische Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/2^n [/mm] als Majorante herhalten.
Aber woher kommt die 3 im Zähler bei der Abschätzung [mm] 0\le\bruch{2+q^n}{2^n+n^2}\le3/2^n?
[/mm]
Wie verbaue ich jetzt den Wert der geometrischen Reihe 1/(1-q) im geg. Fall |q|<1 so in meine Grenzwertabschätzung, dass da auch was herauskommt?
Es soll herauskommen [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2+q^n}{2^n+n^2} \le [/mm] 3
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Hallo geigenzaehler,
> Zeige Konvergenz und bestimme eine Abschätzung für den
> Grenzwert der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2+q^n}{2^n+n^2},[/mm]
> |q|<1
> In der Lösg. lese ich:
>
> F. alle n aus IN ist
>
> [mm]-1
> => [mm]0\le\bruch{2+q^n}{2^n+n^2}\le3/2^n[/mm]
>
> Hier soll wahrscheinlich die konvergente geometrische Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}1/2^n[/mm] als Majorante herhalten.
>
> Aber woher kommt die 3 im Zähler bei der Abschätzung
> [mm]0\le\bruch{2+q^n}{2^n+n^2}\le3/2^n?[/mm]
>
[mm]q^{n}[/mm] wurde durch 1 abgeschätzt.
> Wie verbaue ich jetzt den Wert der geometrischen Reihe
> 1/(1-q) im geg. Fall |q|<1 so in meine
> Grenzwertabschätzung, dass da auch was herauskommt?
>
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}3*{\bruch{1}{2}}^{n}=\left(\ \summe_{n=0}^{\infty}3*\left(\bruch{1}{2}\right)^{n} \ \right)-3[/mm]
> Es soll herauskommen [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{2+q^n}{2^n+n^2} \le[/mm]
> 3
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 So 16.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo MathePower,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}3*{\bruch{1}{2}}^{n}=\left(\ \summe_{n=0}^{\infty}3*{\bruch{1}{2}}^{n} \ \right)-1[/mm]
Auch wenn die Klammern fehlen ist da noch ein Fehler drin.
Auf der linken Seite steht:
[mm] \frac{3}{2}+\ldots
[/mm]
Auf der rechten Seite steht:
[mm] 3*(\frac{1}{2})^0+3*(\frac{1}{2})^1+\ldots-1=3+\frac{3}{2}+\ldots-1=2+\frac{3}{2}+\ldots
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 So 16.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo geigenzaehler,
Im Grunde hat MathePower alles gesagt, aber mit dem Ende bin
ich nicht einverstanden. Beachte auch bitte deinen Startindex!
Zu zeigen:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n\le [/mm] 3$ mit [mm] a_n:=\frac{2+q^n}{2^n+n^2} [/mm] und $|q|<1$.
Zunächst gilt für alle [mm] n\in\IN_0 [/mm] und $|q|<1$:
[mm] a_n\le\frac{3}{2^n}.
[/mm]
Damit gilt für unsere Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n\le\summe_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^n}=3\summe_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=3\left(-1+\summe_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)=3\left(-1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\right)=3.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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