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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert Konvergenz

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Grenzwert Konvergenz: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	13:07 Di 03.10.2006
Autor:	Lucky_real

Aufgabe

 Erklärung Allgmein zu Epsilon Bereich 

Ich versuche gerade mir den Grenzwert von Folgen verständlich zu machen und bin auf den Begriff Epislon Umgebung gestossen..
Verstehe ich das richtig, das ich mit der Epsilon Umgebung eigentlich nur herausbekommen ab welchen Index N die Folge konvergiert bzw. divigiert?

Dann eine Frage zu der Definition von Grenzwert einer Folge:
wieso muss das Epsilon > 0 sein?

Und folgendes Ergebniss kann ich auch nicht ganz nach vollziehen...

Ich habe eine Folge an=n/n+1 der Grenzwert ist nun ja 1.
Für Epsilon = 0,25 gibt es N(Epsilon)=3

Wie kommt man auf diese drei denn? Heist diese Aussage, ab dem dritten Index bin ich im meinen gewünschten Episolon Bereich?

Was bringt mir dieser Epsilon Bereich nun wirklich...

Ich hoffe Ihr könnt mir da ein wenig weiterhelfen, dass wäre echt super..

Bezug

Grenzwert Konvergenz: einige Hinweise

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	10:25 Do 05.10.2006
Autor:	Loddar

Hallo Lucky-real!

> Verstehe ich das richtig, das ich mit der Epsilon Umgebung
> eigentlich nur herausbekommen ab welchen Index N die Folge
> konvergiert bzw. divigiert?

Konvergieren tut schon die ganze Folge [mm] $a_n$, [/mm] also ab dem ersten Glied.

Wenn es für eine Folge [mm] $a_n$ [/mm] für jedes beliebige [mm] $\varepsilon [/mm] \ > \ 0$ um einen festen Wert $a_$ eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] gibt, für die alle Folgenglieder [mm] $\left( \ a_n \ \right)_{n\ge N}$ [/mm] innerhalb dieser [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] liegen, dann konvergiert diese Folge [mm] $a_n$ [/mm] gegen den Wert $a_$ .

> Dann eine Frage zu der Definition von Grenzwert einer Folge:
> wieso muss das Epsilon > 0 sein?

Ein negatives [mm] $\varepsilon$ [/mm] wäre bei dem Ausdruck mit den Betragsstrichen witzlos, oder? ;-)

Schließlich ist der Betrag immer nicht-negativ.

[mm] $\forall\varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists N(\varepsilon)\in\IN: \red{\left| \ a_n-a \ \right| \ < \ \varepsilon} [/mm]  \ \ [mm] \forall n\ge N(\varepsilon)$ [/mm]

> Und folgendes Ergebniss kann ich auch nicht ganz nach
> vollziehen...
>
> Ich habe eine Folge an=n/n+1 der Grenzwert ist nun ja 1.
> Für Epsilon = 0,25 gibt es N(Epsilon)=3
>
> Wie kommt man auf diese drei denn? Heist diese Aussage, ab
> dem dritten Index bin ich im meinen gewünschten Episolon
> Bereich?

Ganz genau!

Und den Wert erhält man durch Einsetzen in obige "Formel" und umstellen nach $n \ > \ ...$ :

[mm] $\left| \ a_n-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{n}{n+1}-1 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{n-(n+1)}{n+1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ -\bruch{1}{n+1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{1}{n+1} \ < \ \varepsilon \ = \ \bruch{1}{4}}$ [/mm]

Nun also die Ungleichung [mm] $\bruch{1}{n+1} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] nach $n \ > \ ...$ umstellen ...

Gruß
Loddar