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Hallo
Ich habe folgende Aufgabe
Aufgabe: Berechnen sie die folgenden Grenzwerte:
(i) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{cos(x)}
[/mm]
(ii) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{x³+x²-x-1}{x-1}
[/mm]
Also bei der (ii) bekomme ich immer 0 raus, kann das sein?
Bei der (i) habe ich mir folgendes überlegt:
f(x) = [mm] \bruch{ \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n} \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{ \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n} \bruch{x^{2n}}{(2n)!}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{x^{2n+1} * (2n)!}{(2n+1)! * x^{2n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1) * x^{2n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{x}{(2n+1)}
[/mm]
Doch was muss ich jetzt machen? Bin dann nach einem Bsp. gegangen:
Sei xm [mm] \subset \IR [/mm] eine Folge mit [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} [/mm] 0+xm -> 0, betrachte
f(xm). Für x = xm eingesetzt und dann kommt bei mir 0 raus. Ist das so richtig?
Mfg
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Fr 29.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Markus
vielleicht mache ich mir das bei der (i) auch zu einfach, aber [m] f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} [/m] ist doch eine in [m] x = 0 [/m] stetige funktion (als quotient stetieger funktionen und nenner funktion ungleich null in $x=0$) und damit gilt ja [m] \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) [/m], wobei [m] f(0) = 0 [/m]. bekanntermaßen gilt dann auch [m] f(x) = \tan x [/m] und diese überlegung stimmt ja dann mit dem ergbenis von oben überein. oder sollt ihr das mittels definition machen?
bei (ii) würde ich polynomdivision durch den faktor [m] (x-1) [/m] vorschlagen.
grüße
andreas
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