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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\downarrow 0}\bruch{|x-1|}{x}*e^{\bruch{-1}{x}} [/mm] |
Hallo,
habe ein Problem mit dem Grenzwert.
Er müsste 0 sein, jedoch komme ich nicht auf eine anständige Begründung:
[mm] \limes_{x\downarrow 0}\underbrace{\bruch{|x-1|}{x}}_{= \infty}*\limes_{x\downarrow 0}\underbrace{e^\bruch{-1}{x}}_{= 0}
[/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen?
Viele Grüße, Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\limes_{x\downarrow 0}\bruch{|x-1|}{x}*e^{\bruch{-1}{x}}[/mm]
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> Hallo,
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> habe ein Problem mit dem Grenzwert.
>
> Er müsste 0 sein, jedoch komme ich nicht auf eine
> anständige Begründung:
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> [mm]\limes_{x\downarrow 0}\underbrace{\bruch{|x-1|}{x}}_{= \infty}*\limes_{x\downarrow 0}\underbrace{e^\bruch{-1}{x}}_{= 0}[/mm]
Das kannst du nicht auseinandernehmen.
Substituiere $x=1/y$, dann wird aus [mm] $\limes_{x\downarrow 0}$ [/mm] der Grenzwert [mm] $\limes_{y\to\infty}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank für den Tipp. Bin jetzt zu folgender Gleichung gekommen
[mm] \limes_{y\rightarrow\infty}y(\bruch{1}{y}-1)*e^{-y} [/mm]
= [mm] \limes_{y\rightarrow\infty} [/mm] e^(-y) -y*e^(-y)
jetzt habe ich aber auch wieder das y was gegen [mm] \infty [/mm] geht und das e^(-y) was gegen 0 geht.
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Di 19.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank für den Tipp. Bin jetzt zu folgender Gleichung
> gekommen
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}y(\bruch{1}{y}-1)*e^{-y}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{y\rightarrow\infty} e^{-y} -y*e^{-y} [/mm]
>
> jetzt habe ich aber auch wieder das y was gegen [mm]\infty[/mm] geht
> und das e^(-y) was gegen 0 geht.
Fast richtig. Du hast den Betrag vergessen: da x gegen 0 geht, wird aus $|x-1|$ der Term $1-x$:
[mm] \limes_{y\rightarrow\infty} e^{-y} (y-1) = \limes_{y\rightarrow\infty} \bruch{y-1}{e^y} [/mm]
Du kannst nun die Regel von L'Hospital anwenden.
Viele Grüße
Rainer
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ah ok, jetzt komme ich auf den Grenzwert 0!
Wie könnte ich das denn lösen, wenn x "von unten" gegen die 0 läuft. Dann sähe die Gleichung ja so aus:
[mm] \limes_{x\uparrow 0}f(x) \gdw \limes_{y\rightarrow -\infty}\bruch{y-1}{e^y}
[/mm]
dann hätte ich im Zähler etwas, was gegen [mm] -\infty [/mm] und im Nenner etwas was gegen 0 läuft.
Gruß, Gratwanderer
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Hallo Gratwanderer,
> [mm]\limes_{x\uparrow 0}f(x) \gdw \limes_{y\rightarrow -\infty}\bruch{y-1}{e^y}[/mm]
>
> dann hätte ich im Zähler etwas, was gegen [mm]-\infty[/mm] und im
> Nenner etwas was gegen 0 läuft.
[mm] \limes_{y\rightarrow -\infty}\bruch{y-1}{e^y}=\limes_{y\rightarrow -\infty}(y-1)e^{-y}
[/mm]
So besser? Guck hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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