Grenzwert 6 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
| Aufgabe | Ist der Grenzwert von folgendem:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x*arctan(\bruch{2x}{x^2+1})
[/mm]
gleich 2
Wenn ja, wie bekommt ihn ohne Taschenrechner raus? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Ist der Grenzwert von folgendem:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x*arctan(\bruch{2x}{x^2+1})[/mm]
>
> gleich 2
ja da hat der TR recht
>
> Wenn ja, wie bekommt ihn ohne Taschenrechner raus?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
erstmal grob schauen was passiert:
das x vorne geht "direkt" gegen unendlich, der Bruch im Arctan gegen 0, somit haben wir den fall [mm] "\infty*0" [/mm] über den sich L'hopital erfreuen wird, was in diesem beispiel etwas rechenarbeit bedeutet 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Gedanklich hatte ich das gleiche Ergebnis [mm] \infty [/mm] * 0.
Da dachte ich dann, was soll denn da raus kommen. Oder eher gesagt, wie soll ich denn damit auf 2 kommen. Naja, muss es noch lernen L'Hospital anzuwenden.
Ich versuchs dann jetzt mal
|
|
|
| |
|
Hallo André,
> Gedanklich hatte ich das gleiche Ergebnis [mm]\infty[/mm] * 0.
>
> Da dachte ich dann, was soll denn da raus kommen. Oder eher
> gesagt, wie soll ich denn damit auf 2 kommen. Naja, muss es
> noch lernen L'Hospital anzuwenden.
Bedenke unbedingt, dass de l'Hôpital nicht für den Fall [mm] $\infty\cdot{}0$ [/mm] gedacht ist.
Vielmehr benötigst du einen Quotienten [mm] \frac{f(x)}{g(x)}$, [/mm] der bei direktem Grenzübergang [mm] $x\to x_0$ [/mm] gegen einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] strebt
Hier in deiner Aufgabe kannst du [mm] $x\cdot{}\arctan\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)$ [/mm] aber umschreiben zu [mm] $\frac{\arctan\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)}{\frac{1}{x}}$
[/mm]
Damit hast du den benötigten Quotienten [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\arctan\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)$ [/mm] und [mm] $g(x)=\frac{1}{x}$
[/mm]
Bei direktem Grenzübergang [mm] $x\to\infty$ [/mm] ergibt sich auch schön der unbestimmte Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] also kannst du de l'Hôpital anwenden und Zähler und Nenner getrennt ableiten und dann erneut den Grenzübergang [mm] $x\to\infty$ [/mm] machen
>
> Ich versuchs dann jetzt mal
Tu das
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
Muss ich hier bei die Quotientenregel anwenden?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Muss ich hier bei die Quotientenregel anwenden?
Nein, du musst Zähler und Nenner getrennt ableiten, jeden für sich.
Dabei musst du natürlich die entsprechenden Ableitungsregeln verwenden, im Zähler etwa die Kettenregel.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 19.07.2009 | | Autor: | mausieux |
also bei:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}xarctan(\bruch{2x}{x^2+1})
[/mm]
habe ich bis jetzt:
[mm] 1*\bruch{1}{x^2+1} [/mm] und wie gehts weiter?
Wieso muss ich beim Zähler "2x" die Kettenregel anwenden?
|
|
|
| |
|
Also wirklich
> also bei:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}xarctan(\bruch{2x}{x^2+1})[/mm]
>
> habe ich bis jetzt:
>
> [mm]1*\bruch{1}{x^2+1}[/mm] und wie gehts weiter?
Wozu schreibe ich denn hier wie bekloppt Antworten, wenn du sie nicht liest???
Ich hatte geschrieben, dass du - um de l'Hôpital anwenden zu können - das Biest umschreiben musst in einen Quotienten, also in
[mm] $\frac{\arctan(bla)}{\frac{1}{x}}$
[/mm]
Nun Zähler und Nenner getrennt ableiten.
Berechne [mm] $\left[\arctan(bla)\right]'$ [/mm] und [mm] $\left[\frac{1}{x}\right]'$ [/mm]
Das dann zusammenbasteln, vereinfachen und Grenzübergang machen ...
>
> Wieso muss ich beim Zähler "2x" die Kettenregel anwenden?
LG
schachuzipus
|
|
|
|
