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Grenzwert - gibt es einen?: Wo liegt der Fehler?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Mi 17.12.2008
Autor: Blueplanet

Aufgabe
Bestimmen Sie

[mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{m}{1-x^m}-\bruch{n}{1-x^n} [/mm]

für beliebige natürliche Zahlen m, n [mm] \ge [/mm] 1. Hinweis: Auch hier hilft es x = 1+t zu setzen und [mm] t\rightarrow0 [/mm] zu betrachten. Für die Potenzen [mm] x^k [/mm] = (1 + [mm] t)^k [/mm] benutze man den Binomischen Satz.

Ich gehe zunächst nach dem vorgegebenen Schema vor, und erhalte somit:

[mm] \limes_{t\rightarrow0} \bruch{m}{1-\summe_{k=0}^{m}\vektor{m \\ k}*t^{m-k}*1^k}-\bruch{n}{1-\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*t^{n-k}*1^k} [/mm]

Dann argumentiere ich folgendermaßen: da t gegen Null geht, geht jedes einzelne Element der Summe gegen Null, außer das Element bei dem k=m wird. Bei diesem wird [mm] t^0 [/mm] zu eins, und ebenso der Binomialkoeffizient, wodurch ich rausbekommen würde:

[mm] \bruch{m}{1-t^0}-\bruch{n}{1-t^0} [/mm]

Was mich leider auf den Widerspruch führt, dass ich durch Null teilen muss. Hat der Ausdruck somit überhaupt keinen Grenzwert bei x->1 ?




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwert - gibt es einen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Mi 17.12.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Bestimmen Sie
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}\left(\bruch{m}{1-x^m}-\bruch{n}{1-x^n}\right)[/mm]
>  
> für beliebige natürliche Zahlen m, n
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow0}\left(\bruch{m}{1-\summe_{k=0}^{m}\vektor{m \\ k}*t^{m-k}*1^k}-\bruch{n}{1-\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*t^{n-k}*1^k}\right)[/mm]
>  

Es gibt einen Grenzwert. Schreibt man die ersten paar
Glieder der Summen aus, so hat man:

      [mm] $\bruch{m}{-m*t-\bruch{m*(m-1)}{2}*t^2-t^3*P(t)}-\bruch{n}{-n*t-\bruch{n*(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t)}$ [/mm]

Dabei sind P und Q Polynome in t. Kürzen mit m bzw. n
ergibt:

      [mm] $\bruch{1}{-t-\bruch{(m-1)}{2}*t^2-t^3*P(t)}-\bruch{1}{-t-\bruch{(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t)}$ [/mm]

Alles auf einen Bruchstrich gebracht:

      [mm] $\bruch{(-t-\bruch{(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t))-(-t-\bruch{(m-1)}{2}*t^2-t^3*P(t))}{(-t-\bruch{(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t))*(-t-\bruch{(m-1)}{2}*t^2-t^3*P(t))}$ [/mm]


      [mm] $\bruch{-t-\bruch{(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t)+t+\bruch{(m-1)}{2}*t^2+t^3*P(t))}{(-t-\bruch{(n-1)}{2}*t^2-t^3*Q(t))*(-t-\bruch{(m-1)}{2}*t^2-t^3*P(t))}$ [/mm]


      [mm] $\bruch{t^2*(\bruch{(m-1)}{2}-\bruch{(n-1)}{2})+t^3*(P(t)-Q(t))}{t^2+t^3*R(t)}$ [/mm]

Nun noch mit [mm] t^2 [/mm] kürzen, dann ist der Grenzwert ersichtlich.


Gruß     Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Grenzwert - gibt es einen?: Danke! (nt)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Mi 17.12.2008
Autor: Blueplanet

Thx!

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