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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 28.09.2005 | | Autor: | arual |
Hallöle!
Ich könnte mal Hilfe gebrauchen!
Die Aufgabe lautet: "Berechnen Sie die nachstehenden Grenzwerte durch Einsetzen des allgemeinen Gliedes einer beliebigen Folge [mm] (x_{n}), [/mm] welche gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert!"
Die Aufgabe: x²-2x-3/x-3 mit [mm] x\to3
[/mm]
Man muss also die Funktion so umstellen, dass im Nenner nicht 0 rauskommt, wenn man 3 einsetzt. Ich komm nicht drauf.
Schon mal danke im Voraus.
Lg arual
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Hallo arual!
Versuche doch mal, den Zähler zu faktorisieren (Stichwort  p/q-Formel) und anschließend zu kürzen.
Oder Du führst eine Polynomdivision durch ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mi 28.09.2005 | | Autor: | arual |
Also es klappt nicht...
Bei der Polynomdivision komme ich zu keinem Ergebnis, wirkt auf mich wie nicht lösbar.
Und mit der p/q-Formel kann ich in diesem Fall nichts anfangen!?
Kannst du mir bitte konkretere Hinweise geben?
LG arual
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Hi,
am besten postest du mal deinen Rechenweg, denn es klappt ganz prima, zur Polynomdivision:
du hast [mm] (x^{2}-2x-3)/(x-3)
[/mm]
Als erstes guckst du wieviel mal x ist [mm] x^{2}?, [/mm] Die Antwort: xmal x ist [mm] x^{2}
[/mm]
Also erhälst du
[mm] (x^{2}-2x-3)/(x-3)=x
[/mm]
Das erhaltene x mußt du dann multiplizieren mit dem Teiler, also (x-3) und das schreibst du unter deine Formel und subtrahierst es, also x(x-3) = [mm] x^{2}-3x [/mm] Also:
[mm] (x^{2}-2x-3)/(x-3)=x
[/mm]
[mm] -(x^{2}-3x)
[/mm]
___________
x-3
wenn du das subtrahierst bleibt ein Rest von x-3, das ist ja genau dein Teiler, also mußt du das ganze 1mal mit 1 multiplizieren, also +1 ins Ergebnis schreiben, du hast dann also:
[mm] (x^{2}-2x-3)/(x-3) [/mm] = x+1
[mm] -(x^{2} [/mm] -3x)
__________________
x-3
-(x-3)
____________
0
Du erhälst also, daß [mm] \bruch{x^{2}-2x-3}{x-3} [/mm] = x+1 ist
wenn also
[mm] \limes_{n\rightarrow\3} \bruch{x^{2} -2x -3}{x-3} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\3}x+1=4
[/mm]
Zur p/q Formel, wenn du die Nullstellen hast, dann kannst du das Polynom ja in der Form [mm] (x+n_{1})*....*(x+n_{m}) [/mm] schreiben, also versuchst du die Nullstellen von [mm] x^{2}-2x-3 [/mm] zu berechen, das geht mit der p \ q Formel.
Also: [mm] x^{2}-2x-3=0
[/mm]
das ist
[mm] x_{1,2} [/mm] = 1 [mm] \pm \wurzel{1-(-3)} [/mm] = 1 [mm] \pm \wurzel{4} [/mm] = 1 [mm] \pm [/mm] 2
Also [mm] x_{1} [/mm] = 3 und [mm] x_{2 } [/mm] = -1
Also kannst du die Gleichung auch so schreiben: [mm] x^{2} [/mm] -2x-3 = (x-3)(x+1)
(Du siehst, es sind die selben Zahlen wie bei der Polynomdivision)
Dann kannst du ganz einfach kürzen, denn [mm] \bruch{x^{2} -2x-3}{x-3} [/mm] = [mm] \bruch{(x-3)(x+1)}{x-3} [/mm] und dann siehst du schon, daß x-3 gekürzt werden kann und nur noch x+1 dort steht.
Alles klarer geworden?
LG
Britta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 28.09.2005 | | Autor: | arual |
Danke, ich habs jetzt auch hingekriegt. Ich hatte gleich am Anfang der Polynomdivision einen Fehler: -2x--3x, an dieser Stelle hatte ich ein Minus übersehen und bin deshalb auf -5x gekommen. Also jetzt ist alles klar. Bin dann auch auf 4 als Grenzwert gekommen.
Vielen Dank.
LG arual
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 28.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo arual
Ich hoff, du liest das noch. Du sollst ja nicht irgendwie den Grenzwert ausrechnen sonder indem du ne Folge von xn einsetzt, die gegen 3 konvergieren für n gegen unendlich. also nimm [mm] xn=3+\bruch{1}{n}.
[/mm]
setz es für alle x ein, vereinfache soweit es geht, also etwa [mm] (3+\bruch{1}{n})^{2} [/mm] ausrechnen. (danach musst du mit n erweitern) und siehst direkt den Grenzwert.
Gruss leduart
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