Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergent ist:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{ln(n)}{n} [/mm] |
Hallo Zusammen
Ich zeige das ja mit Hilfe des Abel-Kriterium:
Zuerst habe ich gezeigt, dass die Summe von [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} [/mm] beschränkt ist. Ist sie ja weil es immer entweder 1 oder 0 gibt.
Nun muss ich noch zeigen dass [mm] c_{n} [/mm] = [mm] \bruch{ln(n)}{n} [/mm] monoton fallend ist und der Grenzwert gegen 0 geht! Hier brauche ich Eure Hilfe.
Ich fange an mit:
[mm] \bruch{ln(n)}{n} \ge \bruch{ln(n+1)}{n+1}
[/mm]
Wie gehts jetzt weiter, bzw. wie forme ich das am besten um, damit man sieht, dass die linke Seite [mm] \ge [/mm] der rechten Seite ist?
Vielen Dank und Gruss
Franhu
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Hallo Franhu,
> Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergent ist:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{ln(n)}{n}[/mm]
>
> Ich zeige das ja mit Hilfe des Abel-Kriterium:
Hätte da nicht Leibniz gereicht?
> Zuerst habe ich gezeigt, dass die Summe von [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm](-1)^{n+1}[/mm] beschränkt ist. Ist sie ja weil es immer
> entweder 1 oder 0 gibt.
>
> Nun muss ich noch zeigen dass [mm]c_{n}[/mm] = [mm]\bruch{ln(n)}{n}[/mm]
> monoton fallend ist und der Grenzwert gegen 0 geht! Hier
> brauche ich Eure Hilfe.
>
> Ich fange an mit:
>
> [mm]\bruch{ln(n)}{n} \ge \bruch{ln(n+1)}{n+1}[/mm]
>
> Wie gehts jetzt weiter, bzw. wie forme ich das am besten
> um, damit man sieht, dass die linke Seite [mm]\ge[/mm] der rechten
> Seite ist?
[mm] (n+1)\ln{(n)}\ge n*\ln{(n+1)}
[/mm]
[mm] n^{n+1}\ge (n+1)^n
[/mm]
Besser?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Franhu |
Danke für die schnelle Antwort. Das hilf mir sehr viel weiter, Merci!
Leider weiss ich nicht wie es mit Leibniz geht, aber kann gut sein, dass es so schneller geht.
Gruss Franhu
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Hallo Franhu,
> Danke für die schnelle Antwort. Das hilf mir sehr viel
> weiter, Merci!
>
> Leider weiss ich nicht wie es mit Leibniz geht, aber kann
> gut sein, dass es so schneller geht.
Jo, Leibniz sagt, dass - wenn du die Reihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 0}(-1)^n\cdot{}a_n$ [/mm] gegeben hast - und die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine monoton fallende reelle Nullfolge ist, die Reihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 0}(-1)^na_n$ [/mm] konvergiert.
Hier ist also "nur" zu zeigen, dass [mm] $\frac{\ln(n)}{n}$ [/mm] monoton fallend gegen 0 konvergiert ...
>
> Gruss Franhu
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Franhu |
Hallo schachuzipus
Danke für die Definition. Ich habe jetzt versucht die Ungleichung weiter zu bearbeiten, nun komme ich nicht mehr weiter.
Muss ich noch weiter vereinfachen können oder sollte man nun schon sehen dass die Reihe monoton fallend ist?
$ [mm] \bruch{ln(n)}{n} \ge \bruch{ln(n+1)}{n+1} [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] (n+1)\ln{(n)}\ge n\cdot{}\ln{(n+1)} [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] n^{n+1}\ge (n+1)^n [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] n*n^{n}\ge (n+1)^n [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] n*n^{n}- (n+1)^n \ge [/mm] 0 $
LG Franhu
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Hallo Franhu,
> Danke für die Definition. Ich habe jetzt versucht die
> Ungleichung weiter zu bearbeiten, nun komme ich nicht mehr
> weiter.
>
> Muss ich noch weiter vereinfachen können oder sollte man
> nun schon sehen dass die Reihe monoton fallend ist?
Nein, vollkommen offensichtlich ist das nicht.
> [mm]\bruch{ln(n)}{n} \ge \bruch{ln(n+1)}{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm](n+1)\ln{(n)}\ge n\cdot{}\ln{(n+1)}[/mm]
Umformung erlaubt, da n(n+1)>0.
> [mm]\gdw[/mm] [mm]n^{n+1}\ge (n+1)^n[/mm]
Umformung erlaubt, da [mm] f(x)=e^x [/mm] streng monoton wachsend ist.
> [mm]\gdw[/mm] [mm]n*n^{n}\ge (n+1)^n[/mm]
Die linke Seite kann man auch in n Summanden à [mm] n^n [/mm] schreiben.
Rechts stehen, in Anwendung des Binomialsatzes, n+1 Summanden. Die ersten n davon sind alle [mm] \le{n^n}, [/mm] wie leicht zu zeigen ist.
Bleibt also links noch ein Summand, rechts zwei, und damit noch zu zeigen:
[mm] n^n\ge\vektor{n+1\\n}n+1=n(n+1)+1=n^2+n+1
[/mm]
Dass das ab n=3 gilt, muss man nun m.E. nicht mehr weiter beweisen. Die linke Seite wächst ab da schneller als die rechte, und für n=3 selbst lässt sich ja leicht nachrechnen, dass [mm] $27\ge [/mm] 9+3+1$ ist.
> [mm]\gdw[/mm] [mm]n*n^{n}- (n+1)^n \ge 0[/mm]
Diese Form dagegen ist nicht wirklich offensichtlich.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Franhu |
Hallo reverend
Vielen Dank für deine Ausführungen!
Schönen Abend noch.
Gruss Franhu
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