Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Aufgabe M. 6.3
Zeigen Sie:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2-1}{3n^2+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] |
Hallo
also ich hab mal eine Frage zu dem Lösungsweg wenn die aufgabe, wie oben lautet:"Zeigen sie"
reicht es dann so zu machen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2-1}{3n^2+1} [/mm] = [mm] \bruch{1-\bruch{1}{n^2}}{3+\bruch{1}{n^2}}
[/mm]
also quasi nur durch die höchste Potenz geteilt..
dann kann man ja noch dazuschreiben das für n= unendlich geht [mm] \bruch{n^2-1} [/mm] gegen 0 und [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] auch gegen 0 und dann steht da ja nur noch [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ... würde das bei diesem Aufgabentyp ausreichen??
oder muss ich da auf jedenfall die Methode mit [mm] \varepsilon [/mm] anwenden?
da steht dann bei mir am schluss dann :
n > [mm] \wurzel{\bruch{4}{9*\varepsilon}-\bruch{1}{3}} [/mm] wäre das dann richtig und reicht diese umformung dann so aus?
wäre schön wenn mir jemand helfen könnte...
Gruß
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Hallo Roffel,
> Aufgabe M. 6.3
> Zeigen Sie:
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2-1}{3n^2+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> Hallo
>
> also ich hab mal eine Frage zu dem Lösungsweg wenn die
> aufgabe, wie oben lautet:"Zeigen sie"
>
> reicht es dann so zu machen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2-1}{3n^2+1}[/mm] = [mm]\bruch{1-\bruch{1}{n^2}}{3+\bruch{1}{n^2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> also quasi nur durch die höchste Potenz geteilt..
> dann kann man ja noch dazuschreiben das für n= unendlich
> geht [mm]\bruch{n^2-1}[/mm] gegen 0 und [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] auch gegen 0
> und dann steht da ja nur noch [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ... würde das
> bei diesem Aufgabentyp ausreichen??
Ja, das genügt vollkommen! Das ist eine Anwendung der Grenzwertsätze.
Darum beweist man die ja, damit man nicht bei jeder Aufgabe bei Adam und Eva (sprich: [mm]\varepsilon[/mm]-Def.) anfangen muss.
>
> oder muss ich da auf jedenfall die Methode mit [mm]\varepsilon[/mm]
> anwenden?
Kannst du natürlich machen ...
> da steht dann bei mir am schluss dann :
>
> n > [mm]\wurzel{\bruch{4}{9*\varepsilon}-\bruch{1}{3}}[/mm] wäre
> das dann richtig und reicht diese umformung dann so aus?
> wäre schön wenn mir jemand helfen könnte...
Wie kommst du darauf?
Du musst doch [mm]\left|\frac{n^2-1}{3n^2+1}-\frac{1}{3}\right|[/mm] abschätzen ...
Mache gleichnamig, verkleinere dann den Nenner [mm]\frac{1}{3n^2+1}\le\frac{1}{3n^2}[/mm]
Dann kommst du auf [mm]\frac{4}{9}\cdot{}\frac{1}{n^2}\overset{!}{<}\varepsilon[/mm], also [mm]n>\frac{2}{3\sqrt{\varepsilon}}[/mm]
Damit hast du doch ein passenden [mm]n_0=n(\varepsilon)[/mm] konstruiert, so dass für alle größeren [mm]n[/mm] der Betrag [mm]\left|\frac{n^2-1}{3n^2+1}-\frac{1}{3}\right|<\varepsilon[/mm] ist
>
> Gruß
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 21.04.2011 | | Autor: | Roffel |
hi
Erstmal danke für die schnelle Antwort :)
hab die epsilon methode leider noch nicht ganz verstanden...
ich kenn das so:
[mm] \left|\frac{n^2-1}{3n^2+1}-\frac{1}{3}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
und dann bring ich das halt auf den gleichen Nenner links und fass es zusammen und löse dann nach n auf.
könntest du mir bitte nochmal erklären das du mit " Nenner verkleinern" genau meinst..
ich würd das nämlich sonst so machen:
[mm] \left|\frac{n^2-1}{3n^2+1}-\frac{1}{3}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \left|\frac{3*(n^2-1)}{3*(3n^2+1)}-\frac{3n^2+1}{3*(3n^2+1}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \left|\frac{3n^2-3-3n^2-1)}{9n^2+3)}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \frac{4}{9n^2+3}< \varepsilon [/mm] falls es bis dahin stimmen sollte ok, aber jetzt weiß ich nicht genau wie es weiter nach n geschickt auflösen soll.. wie würd ich da jetzt weiter machen am besten??
Gruß
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Hallo Roffel,
> hi
> Erstmal danke für die schnelle Antwort :)
> hab die epsilon methode leider noch nicht ganz
> verstanden...
>
> ich kenn das so:
> [mm]\left|\frac{n^2-1}{3n^2+1}-\frac{1}{3}\right|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> und dann bring ich das halt auf den gleichen Nenner links
> und fass es zusammen und löse dann nach n auf.
Ja, ist doch ok.
> könntest du mir bitte nochmal erklären das du mit "
> Nenner verkleinern" genau meinst..
Es geht um den linken Bruch. Zähler und Nenner sind positiv (für n>1). Wenn Du denn Nenner verkleinerst, wird der Bruch größer.
Es gilt:
[mm] \bruch{n^2-1}{3n^2+1}<\bruch{n^2-1}{3n^2-3}=\bruch{1}{3}
[/mm]
Damit müsstest Du was anfangen können; achte aber auf die Betragsstriche.
> ich würd das nämlich sonst so machen:
> [mm]\left|\frac{n^2-1}{3n^2+1}-\frac{1}{3}\right|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\left|\frac{3*(n^2-1)}{3*(3n^2+1)}-\frac{3n^2+1}{3*(3n^2+1}\right|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\left|\frac{3n^2-3-3n^2-1)}{9n^2+3)}\right|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\frac{4}{9n^2+3}< \varepsilon[/mm] falls es bis dahin stimmen
> sollte ok, aber jetzt weiß ich nicht genau wie es weiter
> nach n geschickt auflösen soll.. wie würd ich da jetzt
> weiter machen am besten??
Bis hier alles ok. Jetzt mit dem Nenner multiplizieren (der eine positive Zahl ist), dann die quadratische Ungleichung lösen. Ergebnis: zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] existiert ein N, so dass für n>N ...
Grüße
reverend
PS: Trotzdem nochmal der Hinweis - man muss ja nicht immer ganz von vorn anfangen. Dazu hat man ja die Grenzwertsätze.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 21.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke reverend!
ja ich werd es wenn es geht auch ohne das epsilon lösen, mit den Grenzwertsätzen finde ich es einfacher.. aber man weis ja nie was verlangt wird:)
$ [mm] \frac{4}{9n^2+3}< \varepsilon [/mm] $
okay dann quadriere ich mit dem Nenner, dann sollte doch das da stehen oder?
4 < [mm] \varepsilon*(9n^2+3)
[/mm]
dann hole ich das [mm] \varepsilon [/mm] auf die andere seite mit geteilt...
[mm] \frac{4}{\varepsilon} [/mm] < [mm] 9n^2+3 [/mm] teile dann die linke Seite durch 9:
[mm] \frac{4}{\varepsilon *9} [/mm] < [mm] n^2+3
[/mm]
[mm] \frac{4}{\varepsilon *9}-3 [/mm] < [mm] n^2 [/mm] zieh dann die Wurzel:
[mm] \frac{2}{\wurzel{\varepsilon} *3}-\wurzel{3} [/mm] < n
stimmt das noch bzw. ist das dann so fertig und kann so stehen lassen oder muss man da noch irgendetwas dazu schreiben??
Gruß
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Hallo nochmal,
naja, fast...
> ja ich werd es wenn es geht auch ohne das epsilon lösen,
> mit den Grenzwertsätzen finde ich es einfacher.. aber man
> weis ja nie was verlangt wird:)
>
> [mm]\frac{4}{9n^2+3}< \varepsilon[/mm]
> okay dann quadriere ich mit
> dem Nenner, dann sollte doch das da stehen oder?
>
> 4 < [mm]\varepsilon*(9n^2+3)[/mm]
>
> dann hole ich das [mm]\varepsilon[/mm] auf die andere seite mit
> geteilt...
>
> [mm]\frac{4}{\varepsilon}[/mm] < [mm]9n^2+3[/mm] teile dann die linke Seite
> durch 9:
>
> [mm]\frac{4}{\varepsilon *9}[/mm] < [mm]n^2+3[/mm]
Na, die 3 musst Du dann aber auch durch 9 teilen.
> [mm]\frac{4}{\varepsilon *9}-3[/mm] < [mm]n^2[/mm] zieh dann die Wurzel:
>
> [mm]\frac{2}{\wurzel{\varepsilon} *3}-\wurzel{3}[/mm] < n
Aua. Du kannst in einer Summe (oder hier: Differenz) doch nicht gliedweise die Wurzel ziehen!
Außerdem musst Du zumindest sicher stellen, dass auf der linken Seite insgesamt etwas Positives steht. Dazu muss [mm] \varepsilon [/mm] klein genug sein.
> stimmt das noch bzw. ist das dann so fertig und kann so
> stehen lassen oder muss man da noch irgendetwas dazu
> schreiben??
Kontrollergebnis: [mm] n>\bruch{1}{3}\wurzel{\bruch{4}{\varepsilon}-3}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Do 21.04.2011 | | Autor: | Roffel |
thx reverend
also ich komm soweit:
[mm] \wurzel{\bruch{4}{9*\varepsilon}-\bruch{1}{3}}
du machst ja dann irgendwas mit der 9, aber entweder steh ich grad aufm Schlauch oder kp^^ ich weiß nicht wie ich das 1/3 vor die Wurzel bekommen kann, bzw. wie ich mit der 9 weiter rechnen muss, sry aber hab da grad so meine problem...
Gruß
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Hallo Roffel!
Mache beide Brüche unter der Wurzel gleichnamig und klammere anschließend [mm] $\bruch{1}{9}$ [/mm] aus.
Dann kann man anwenden: [mm] $\wurzel{a*b} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a}*\wurzel{b}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Do 21.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke Roadrunner , jetzt hab sogar ich es hinbekommen:)
leider wär ich auf das 1/9 ausklammern sehr wahrscheinlich nicht von selbst drauf gekommen..... hm
wieso ist denn dieser letzte schritt so wichtig, das man das ausklammert und dann noch vor die Wurzel zieht??
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Hallo Roffel,
sooo wichtig ist es nicht. Aber wenn man den Nenner wurzelfrei hinbekommt, dann ist es schon hübscher. Manche (wenn nicht die meisten) Korrektoren erwarten das sogar. Es hat den Vorteil, dass das Ergebnis nicht in allerlei verschiedenen Formen daherkommt, sondern ziemlich einheitlich - und das erleichtert nunmal die Korrektur.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Do 21.04.2011 | | Autor: | Roffel |
ok, werde ich mir mal so merken :) danke reverend!
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