Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
wenn ich den Grenzwert berechnen möchte von
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{x^3}
[/mm]
Der wäre doch - [mm] \infty, [/mm] richtig?
Und bei
[mm] \limes_{x\rightarrow\ \infty} \bruch{-sin(x)}{x^3}
[/mm]
Wie setze ich hier an? Irgendwie habe ich gerade mal wieder ein Brett vor dem Kopf.
Danke für Tipps
Anna
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mi 03.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Es gilt [mm] $\bruch{sin(x)}{x} \to [/mm] 1 $ für x [mm] \to [/mm] 0
und [mm] \bruch{sin(x)}{x^3}= \bruch{sin(x)}{x}* \bruch{1}{x^2}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{x^3} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{x}* \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Es ist
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{x} [/mm] = -1 (mit De L'Hospital) und
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x^2} [/mm] = 0
Also ist
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{x^3} [/mm] = 0
Richtig so?
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{x}[/mm] = -1 (mit De
> L'Hospital) und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x^2}[/mm] = 0
Schau dir mal den zweiten Grenzwert nochmal an, das kann doch gar nicht stimmen.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo Gono,
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{x}[/mm] = -1 (mit De
> > L'Hospital) und
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x^2}[/mm] = 0
Ähm, wie peinlich. Es ist
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x^2}[/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Also ist der Grenzwert -1 * [mm] \infty, [/mm] also [mm] -\infty
[/mm]
Kann man das so sagen?
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Also ist der Grenzwert -1 * [mm]\infty,[/mm] also [mm]-\infty[/mm]
>
> Kann man das so sagen?
naja, formell nicht.
Aber man kann sie einzeln betrachten und daraus folgern, dass der Gesamtgrenzwert gegen [mm] -\infty [/mm] geht.
Den anderen hat die schachuzipus ja schon erklärt.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Gono,
ok, DANKE!
Gruß
Anna
|
|
|
| |
|
Hallo Anna,
> Hallo,
>
> wenn ich den Grenzwert berechnen möchte von
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{x^3}[/mm]
> Der wäre
> doch - [mm]\infty,[/mm] richtig?
>
> Und bei
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ \infty} \bruch{-sin(x)}{x^3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wie
> setze ich hier an? Irgendwie habe ich gerade mal wieder ein
> Brett vor dem Kopf.
Dieser GW ist offensichtlich 0, der Sinus ist ja bechränkt.
Bedenke, dass $|-\sin(x)|\le 1$
Damit: $\left|\frac{-\sin(x)}{x^3\right|\le\frac{1}{|x|^3}$
Nun $x\to\infty$
>
> Danke für Tipps
> Anna
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo schachuzipus,
DANKE für Deine Antwort!
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ \infty} \bruch{-sin(x)}{x^3}[/mm]
>
> Dieser GW ist offensichtlich 0, der Sinus ist ja
> bechränkt.
Ach, stimmt ja.
>
> Bedenke, dass [mm]|-\sin(x)|\le 1[/mm]
>
> Damit: [mm]\left|\frac{-\sin(x)}{x^3\right|\le\frac{1}{|x|^3}[/mm]
>
> Nun [mm]x\to\infty[/mm]
Da [mm] |x|^3 \to \infty [/mm] für x [mm] \to \infty [/mm] , geht [mm] \bruch{1}{|x|^3} \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty
[/mm]
und insbesondere auch wenn -sin(x) < 1 ist.
Es ist doch so, dass -sin(x) divergiert, also keinen Grenzwert besitzt. Man weiß aber, dass der Grenzwert sozusagen alternierend ist, d.h. -1 und 1 für x [mm] \to \infty.
[/mm]
Löst man solch eine Aufgabe deswegen immer mit dieser Art der Abschätzung, wie Du es gemacht hast?
Gruß
Anna
|
|
|
| |
|
Hallo!
>
> Da [mm]|x|^3 \to \infty[/mm] für x [mm]\to \infty[/mm] , geht
> [mm]\bruch{1}{|x|^3} \to[/mm] 0 für x [mm]\to \infty[/mm]
> und insbesondere
> auch wenn -sin(x) < 1 ist.
[mm] \red{0\le} \left|\frac{-\sin(x)}{x^3}\right|\le\frac{1}{|x|^3} \to [/mm] 0
Also [mm] \frac{-\sin(x)}{x^3} \to [/mm] 0 für [mm] x\to\infty
[/mm]
> Es ist doch so, dass -sin(x) divergiert, also keinen
> Grenzwert besitzt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Man weiß aber, dass der Grenzwert
> sozusagen alternierend ist, d.h. -1 und 1 für x [mm]\to \infty.[/mm]
Wie du davor selber gesagt hast existiert für den sinus kein Grenzwert!!
>
> Löst man solch eine Aufgabe deswegen immer mit dieser Art
> der Abschätzung, wie Du es gemacht hast?
Es ist häufig ein guter Weg [mm] \sin [/mm] bzw. [mm] \cos [/mm] nach oben gegen 1 abzuschätzen.
>
> Gruß
> Anna
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Danke Patrick und schachuzipus!
Gruß
Anna
|
|
|
|
