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| Aufgabe | | Für welche [mm] a,b,c\in\IR [/mm] ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n^4+n^2+1}-(an^2+bn+c)=0? [/mm] |
Hallo!
Ich brauch bei der o.g. Aufgabe mal einen Denkansatz. Mein üblicher Ansatz bei so einer Aufgabe wäre der Wurzeltrick, also Erweitern mit [mm] \wurzel{n^4+n^2+1}+(an^2+bn+c). [/mm] Leider liefert das ein Polynom 4. Grades:
[mm] \bruch{(n^4+n^2+1)-(an^2+bn+c)^2}{\wurzel{n^4+n^2+1}+(an^2+bn+c)}
[/mm]
Wie ich den Prof kenne, gibts irgendeine phantastische Umformung, die das Lösen zum Kinderspiel macht, aber ich komm nicht drauf :-(
Gruß,
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Di 12.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Palisaden-Honko!
Fasse im Zähler zusammen, indem Du die Klammern ausmultiplizierst.
Anschließend im Nenner [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern.
Damit der Bruch eine Nullfolge ergibt, muss der Nennergrad kleiner sein als der Nennergrad.
Demnach müssen die Koeffizienten im Zähler vor den [mm] $n^4$-Termen [/mm] sowie [mm] $n^3$- [/mm] und auch [mm] $n^2$-Termen [/mm] 0 ergeben.
Gruß
Loddar
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Danke für die schnelle Antwort!
Okay, ich hab die Klammern aufgelöst und das Polynom 8. Grades umgeformt (ich schreibs hier jetzt mal nicht nochmal auf ^^)
Im Nenner ist ja [mm] n^2 [/mm] die höchste Potenz. Da ja Zählergrad<Nennergrad sein soll, konnte ich folgendes folgern:
[mm] n^8*a^2=0 [/mm] für a=0
damit ist [mm] n^7*(2ab)=0 [/mm] erfüllt.
[mm] n^6*(2ac+b^2+a) [/mm] kann nur =0 sein, wenn b=0
damit ist [mm] n^5*(2bc+2ab)=0
[/mm]
[mm] n^4*(c^2+2ac+b^2+a^2) [/mm] liefert schließlich c=0 und der Grenzwert gilt nur für a=b=c=0
Ist das so korrekt?
Gruß, Christoph
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Di 12.01.2010 | | Autor: | blackylk |
Wie hast du den den obigen Term zusammengefasst? Und wie kürzt du [mm] n^2 [/mm] aus der Wurzel im Nenner?
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Oh, da hab ich wohl einen Fehler gemacht (- mit * verwechselt)...
Nach ausmultiplizieren von [mm] (an^2+bn+c)^2 [/mm] erhalte ich im Zähler
[mm] (n^4+n^2+1)-(a^2n^4+2abn^3+2acn^2+b^2n^2+2bcn+c^2)
[/mm]
[mm] =(a^2-1)n^4+2abn^3+(1-2ac)n^2+2bcn+(1-c^2)
[/mm]
Im Nenner passiert folgendes:
[mm] \wurzel{n^4+n^2+1}+an^2+bn+c=n^2(\wurzel{1+\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n^4}}+a+\bruch{b}{n}+\bruch{c}{n^2})
[/mm]
Unter der Wurzel wird [mm] n^4 [/mm] ausgeklammert und dann kann man mit [mm] \wurzel{a*b}=\wurzel{a}*\wurzel{b} [/mm] das [mm] n^2 [/mm] (also [mm] \wurzel{n^4}) [/mm] im Nenner ausklammern.
edit:
Ergebnis lautet dann so: [mm] a=\pm1, [/mm] b=0, [mm] c=\pm\bruch{1}{2}
[/mm]
Gruß, Christoph
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