Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Di 28.10.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | Ich brauche den Grenzwert von folgendem Ausdruck (keine Reihe oder so - ist nur ein Teil den ich für ein Bsp brauche):
[mm] \bruch{n^3*2^n}{3^n} [/mm] |
ich dachte mir, dass ich das quotientenkriterium in limesform nehme:
= [mm] \bruch{3^n(n+1)^3*2*2n}{3*3^n*n^3*2n}
[/mm]
= [mm] \bruch{2(n+1)^3}{3*n^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{2*(n^3+3n^2+3n+1)}{3n^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3}+\bruch{2}{n}+\bruch{2}{n^2}+\bruch{2}{3n^3}
[/mm]
dh mein grenzwert ist [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
lieg ich soweit richtig - oder muss ich den grenzwert anders bestimmten ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Di 28.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi Barbara!
> Ich brauche den Grenzwert von folgendem Ausdruck (keine
> Reihe oder so - ist nur ein Teil den ich für ein Bsp
> brauche):
>
> [mm]\bruch{n^3*2^n}{3^n}[/mm]
> ich dachte mir, dass ich das quotientenkriterium in
> limesform nehme:
>
> = [mm]\bruch{3^n(n+1)^3*2*2n}{3*3^n*n^3*2n}[/mm]
> = [mm]\bruch{2(n+1)^3}{3*n^3}[/mm]
> [mm]=\bruch{2*(n^3+3n^2+3n+1)}{3n^3}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{2}{3}+\bruch{2}{n}+\bruch{2}{n^2}+\bruch{2}{3n^3}[/mm]
>
> dh mein grenzwert ist [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
Aber welcher Grenzwert ist das jetzt? Der des Quotienten q. Wie sieht dann der Grenzwert von [mm] \bruch{n^3*2^n}{3^n} [/mm] aus?
Gruß
Dieter
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Hallo babs!
Du hast hier nicht den Grenzwert der genannten Folge ermittelt, sondern den Grenzwert des Ausdrucks [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] .
Damit hast Du nachgewiesen, dass die Folge [mm] $a_n$ [/mm] (zumindest ab einem bestimmten [mm] $n_0$ [/mm] ) streng monoton fallend ist.
Um den Grenzwert der Folge zu ermitteln, kannst Du hier z.B. (nach einer kurzen Umformung)  de l'Hospital anwenden:
[mm] $$\bruch{n^3*2^n}{3^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^3}{\bruch{3^n}{2^n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^3}{\left(\bruch{3}{2}\right)^n}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 28.10.2008 | | Autor: | babsbabs |
danke mal für eure zahlreichen antworten, ich spinne das bsp mal weiter mit l'hopital
also: [mm] \bruch{n^3}{(\bruch{3}{2})^n}
[/mm]
= lim [mm] \bruch{f(n)'}{g(n)'} [/mm] = [mm] \bruch{3n^2}{(\bruch{3}{2})^n*ln(\bruch{3}{2})}
[/mm]
Ableitung des Teils über dem Bruchstrich: 6n
Ableitung des Teils unter dem Bruchstrich - Anwendung Produktregel:
u' = [mm] (\bruch{3}{2})^n [/mm] u = [mm] \bruch{(\bruch{3}{2})^n}{ln(\bruch{3}{2})}
[/mm]
v = [mm] ln(\bruch{3}{2}) [/mm] v' = [mm] \bruch{2}{3}*0 [/mm] (durch die innere ableitung von 2/3)
einsetzen in die produktregel:
[mm] (\bruch{3}{2})^n*ln\bruch{3}{2} [/mm] dh ich komm immer wieder auf den term von dem ich ausgegangen bin
dh nächster schritt l'hopital
[mm] \bruch{6n}{(\bruch{3}{2})^n*ln\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{6}{(\bruch{3}{2})^n*ln\bruch{3}{2}}
[/mm]
dh ich sehe ich habe oben nur mehr eine konstante - und unten etwas was ständig wächst wenn mein n wächst...
dh grenzwert 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Di 28.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Idee:
Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^3\cdot{}2^n}{3^n}.
[/mm]
Deine Rechnung zeigt, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert (Quotientenkriterium), also ist die Folge der Reihenglieder, also [mm] (a_n), [/mm] eine Nullfolge.
FRED
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da fehlt was beim Einsetzen:
