Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mi 03.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}x*(\sqrt{1+\bruch{1}{x}}-1)^2 [/mm] |
Irgendwie verwirrt mich die Aufgabe und habe die Vermutung, dass das auch Sinn und Zweck der Aufgabe ist aber vorsichtshalbe frage ich mal nach:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}x*(\sqrt{1+\bruch{1}{x}}-1)^2 [/mm] = 0 oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Das stimmt so nicht. Du hast hier einen unbestimmten Ausdruck der Art [mm] $0*\infty^2 [/mm] \ = \ [mm] 0*\infty$ [/mm] vorliegen.
Multipliziere die Klammer und anschließend noch mit $x_$ aus ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mi 03.09.2008 | | Autor: | tedd |
Also
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}x*\left(\sqrt{1+\bruch{1}{x}}-1\right)^2
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\ 0}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)^2
[/mm]
=1
Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 03.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das Ergebnis passt zwar, aber die Rechnung meiner Meinung nicht.
[mm] x\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{x}}-1\right)^2
[/mm]
[mm] =x*\left(1+\bruch{1}{x}-2\sqrt{1+\bruch{1}{x}}+1\right)
[/mm]
[mm] =x+\bruch{x}{x}-2x\sqrt{1+\bruch{1}{x}}+x
[/mm]
[mm] =2x+1-2x\sqrt{1+\bruch{1}{x}}
[/mm]
[mm] =2x+1-2\wurzel{x²*\left(1+\bruch{1}{x}\right)}
[/mm]
[mm] =2x+1-2\wurzel{x²+x}
[/mm]
Jetzt kannst du ja x=0 setzen, und kommst auf den Grenzwert 1
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mi 03.09.2008 | | Autor: | pelzig |
$ [mm] x\left(\sqrt{1+\bruch{1}{x}}-1\right)^2=x\left(\sqrt{\frac{x+1}{x}}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)^2=x\left(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)^2=(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})^2=2x+1+\sqrt{x^2+x}$
[/mm]
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