Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die untenstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls
den zugehörigen Grenzwert.
[mm] (-1)^i^+^1 i^2 [/mm] / [mm] (i+1)^3 [/mm] |
Hab mal wieder ein Problem. geht das in die richtige richtung wenn ich mit i kürze? was passiert dann mit dem exponenten? is der auch davon betroffen? wäre dann der gw 0? (wenn der exponent nicht betroffen wäre)
danke im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Korrekt, der Grenzwert ist 0.
Man kürzt mit [mm] i^{2}:
[/mm]
[math]
\limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{i+1}*i^{2}}{(i+1)^{3}}
= \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{i+1}*i^{2}}{i^{3}+3*i^{2}+9*i+27}
= \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{i^{2}}{i^{2}}\bruch{(-1)^{i+1}}{i+3+\bruch{9}{i}+\bruch{27}{i^{2}}}
= \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{i+1}}{i+3+\bruch{9}{i}+\bruch{27}{i^{2}}}
= 0[/math],
Da der Zähler beschränkt ist (entweder -1 oder 1, wird aber eben nicht unendlich groß für große i), der Nenner aber unendlich groß wird (für große i).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
wie kommst du denn auf die 9i +27? hab da raus für [mm] (i+1)^3 [/mm] = [mm] i^3+3i^2+3i+1 [/mm] und am ende bekomme ich doch für den zähler und den nenner 0 => 0/0 muss ich dann nicht die regel von l´hospital anwenden? und ne ableitung machen?
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> wie kommst du denn auf die 9i +27? hab da raus für [mm](i+1)^3[/mm]
> = [mm]i^3+3i^2+3i+1
Hallo,
das, was Du ausgerechnet hast, ist natürlich richtig, steppenhahn hat im Übereifer (i+3)^3 berechnet.
> [/mm] und am ende bekomme ich doch für den zähler
> und den nenner 0
Wie denn das?
Es geht doch [mm] i\to \infty, [/mm] so steht es jedenfalls in Deiner Aufgabe.
Wenn Du so ausklammerst wie steppenhahn oder so (höchste i-Potenz ausklammern, wie man es meist macht):
> $ [mm] (-1)^i^+^1 i^2 [/mm] $ / $ [mm] (i+1)^3 [/mm] $
[mm] =\bruch{i^3}{i^3}\bruch{(-1)^i^+^1\bruch{1}{i}}{(1+\bruch{1}{i})^3 },
[/mm]
erhältst Du bei Durchführung des Grenzüberganges [mm] i\to \infty [/mm] im Zähler 0 und im Nenner 1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
ja hast recht, hatte die 1 übersehen, wenn aber bei beiden ( zähler und nenner) null rausgekommen wäre, hätte ich die regel von l´hospital anwenden müssen oder?
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> wenn aber bei beiden
> ( zähler und nenner) null rausgekommen wäre, hätte ich die
> regel von l´hospital anwenden müssen oder?
Ob "müssen", das kommt auf den Einzelfall daruf an.
Jedenfalls versucht man bei [mm] \bruch{0}{0} [/mm] und [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] oft, mit l'Hospital weiterzukommen.
(Es klappt nicht immer.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
ok vielen dank
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