Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich habe mal eine kurze und knappe Frage:
Ich habe die Folge [mm] \bruch{1}{n+1}(\bruch{n^3+3n-1}{n^2}+3n) [/mm] und soll den Grenzwert bestimmen. Den Rechenweg hin zu meinem Beweis spar ich mir mal jetzt, da es mir auf folgenden Satz ankommt: Die Folge [mm] (x_n) [/mm] heißt konvergent gegen a [mm] \in\IR, [/mm] wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 eine natürliche Zahl [mm] \IN [/mm] gibt, so dass [mm] |x_n-a|<\epsilon, [/mm] für alle [mm] n\ge\IN.
[/mm]
Als Grenzwert erhalte ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=4. [/mm] Mein Problem ist jetzt folgendes:
Diesen Beweis durchzurechnen wäre ja im Prinzip kein Problem. Nur welche Zahlen >0 setze ich für [mm] \epsilon [/mm] ein? Die zwischen 0 und 4? Verstehe das irgendwie noch nicht so ganz!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Der Wert [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist beliebig wählbar (nur positiv muss er sein). Denn dieses [mm] $\varepsilon$ [/mm] gibt die Umgebung um den Grenzwert an, in welcher ab einem bestimmten $N_$ alle nachfolgenden Folgeglieder liegen.
Meistens bis öfters wird auch gar kein konkretes [mm] $\varepsilon$ [/mm] vorgegeben, sondern für allgemeines [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] ermittelt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Gut Dankeschön. Ich habe dann nur noch eine kleine Bitte und wünsche dann auch schon einen guten Rutsch ins neue Jahr . Ich nehme mal eine einfache Folge: [mm] a_n=\bruch{2n+16}{n+5} \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=2
[/mm]
laut definition wäre dann für [mm] \epsilon=0,3:
[/mm]
[mm] |\bruch{2n+16}{n+5}-2|<0,3 [/mm] Das würde ja dann, wenn ich alles richtig verstanden habe, heißen, dass der Abstand des Gliedes [mm] a_n [/mm] von 2 weniger als 0,3 ist.
Ich würde das jetzt folgendermaßen rechnen:
[mm] |\bruch{2n+16}{n+5}-2|=|\bruch{2n+16-2(n+5)}{n+5}|=|\bruch{2n+16-2n-10}{n+5}|=|\bruch{6}{n+5}|=\bruch{6}{n+5}
[/mm]
nun habe ich noch folgendes dazustehen:
[mm] \bruch{6}{n+5}<0,3\Rightarrow\bruch{n+5}{6}>\bruch{1}{0,3} \gdw n+5>\bruch{6}{0,3} \gdw [/mm] n+5>20 [mm] \gdw [/mm] n>15
Und daraus folgt, dass ab [mm] n_0=16 [/mm] alle weiteren Folgeglieder dazwischen liegen.
Könntet ihr das mal alles überprüfen??? Wäre echt cool!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Alles richtig so!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Super dankeschön. Ich wünsche euch dann allen einen guten rutsch ins neue Jahr.
|
|
|
|
