Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 So 05.12.2004 | | Autor: | Pizza |
Hallo,
Ich soll hierzu den Grezwert berechnen und beweisen, dass es den gibt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{\infty}exp(-n+i \bruch{ n^{2}}{k}
[/mm]
Ich hab den Grenzwert schon berechnet, kann es sein dass da 1 heraus kommt? Aber ich hab ein Probelm. Ich hab einfach während der Rechnung
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] einfach vertauscht, damit ich die geometrische Reihe anwenden kann. darf man das so ohne?
Den Beweis dazu check ich überhaupt nicht. Kann jemand mir sagen, wie der geht??
Danke schön.#Pizza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 So 05.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ja, es stimmt, dass gilt:
[mm] $\limes_{k\to \infty}\summe_{n=0}^{\infty}{e^{-n+\frac{i\cdot n}{k^2}}}=\summe_{n=0}^{\infty}{\limes_{k\to\infty} e^{-n+\frac{i\cdot n}{k^2}}}$, [/mm] da du bei einer Summe den Limes der einzelnen Summanden bilden darfst. Den Limes von [mm] $e^{-n+\frac{i\cdot n}{k^2}}$ [/mm] kannst du berechnen, oder? Wenn du das hast, dann kannst du, wie du schon richtig sagtest, die Formel für die geometrische Summe anwenden, die da lautet:
[mm] $1+q+q^2+q^3+...+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$.
[/mm]
Versuch's mal!
Liebe Grüße und Viel Erfolg!,
Hanno
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