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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Yoko |
Hallo,
mir wurde folgende Aufgabe gegeben
[mm] b_{n}= \bruch{\vektor{n \\ k}}{2^{n}} [/mm] k soll ein Element der natürlichen Zahlen sein und fest.
ich hab die Aufgabe soweit vereinfacht
[mm] \bruch{2^{-n}n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Nochmal was zu meinem Verständis:
K fest heißt ja das k sich nicht verändert oder, also sozusagen eine Konstante ist?
Wenn das der Fall ist dann läuft die Folge gegen 0
da wenn n gegen undlich läuft werden Zähler und Nenner immer größer nur der Nenner wächst schneller an und es läuft somit gegen 0
soweit so gut. Bloß wie rechne, zeige ich das nun? (Fakultäten ist nicht gerade mein Ding)
Gruß yoko
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Hallo Yoko,
Schau dir doch eine andere Darstellung des Binomialkoeffizienten an.
[mm]\pmat{n\\k}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot(n-k+1)}{1\cdot2\cdot\dots\cdot k}[/mm]
Was ändert sich an dem, wenn du n um 1 erhöhst?
Mit dem [mm] 2^n [/mm] im Nenner sollte es leicht sein, die Nullfolgen-Eigenschaft zu zeigen.
Hugo
PS: Stell dir vor, n wäre größer als 2k. Könnstest du damit etwas anfangen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Yoko |
Warum soll ich den Koeffizienten um 1 erhöhen?
Wenn ich n=n+1 dann wird lediglich der Zähler großer am nenner tut sich nix.
Als Formel ausgedrückt wäre das ja dann
[mm] \vektor{n+1 \\ k}= \vektor{n \\ k-1}+ \vektor{n \\ k}
[/mm]
irgendwie versteh ich nicht wir mir das weiterhelfen soll. :(
gruß Yoko
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Also nimm mal meine Darstellung.
[mm]b_n=2^{-n}\cdot\frac{n\cdot(n-1)\dots(n-k+1)}{1\cdot2\dots k}[/mm]
Ist der Index größer, dann...
[mm]b_{n+1}=2^{-n-1}\cdot\frac{(n+1)\cdot n\dots(n-k+2)}{1\cdot2\dots k}[/mm]
Das sieht doch schon vielversprechend aus. Jetzt vergleichen wir mal die beiden Terme.
[mm]\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n-k+1}[/mm]
Rechne doch mal nach, wie ich auf diesen Quotienten komme. Du kannst ihn für große n geeignet abschätzen, so dass die Folge [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge sein muss.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Do 11.11.2004 | | Autor: | Yoko |
Hi,
danke das du mir immer Anwortest, aber ich habs immernoch nicht verstanden und ich zweifele bald shcon an mir selbst, also sorry.
Wie man auf [mm] \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n-k+1} [/mm] kommt habe ich soweit verstanden, rechnerisch zumindest
Aber warum vergleiche ich das, warum darf ich das machen?
Ist das jetzt mein Endergebnis, wenn ich n gegen unendlich laufen lasse?
Gruß yoko
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Hallo Yoko,
speziell bei Nullfolgen werden ja die Folgenglieder 'auf lange Sicht' immer kleiner und kleiner.
Insbesondere kann man von einer Folge zeigen, dass sie eine Nullfolge ist, wenn es eine strikt größere Folge gibt, die von Glied zu Glied um einen festen Faktor abnimmt. (Majorantenkriterium)
Also:
[mm]\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n-k+1}[/mm]
Nehmen wir an, dass [mm]n>3k[/mm], dann ist [mm]n-k+1>n-\frac{n}{3}+1>\frac{2n}{3}+\frac{2}{3}[/mm]
Damit ist der Quotient aus den Folgengliedern kleiner als [mm] \frac{3}{4}.
[/mm]
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Yoko |
Ahhhhh, so ist das.
DANKE
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