Grenzw. Folge mit Substitution < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Di 13.12.2011 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. die Grenzwerte:
(i) [mm]a_n={\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n-1}[/mm]
[...] |
Hallo,
es geht hier um eine Aufgabe, die ich schon vor längerer Zeit gelöst und laut meinem Tutor auch richtig hatte. Jetzt habe ich mir meine Lösung allerdings noch mal angeguckt, da ich diesen Teil für eine aktuelle Aufgabe gebrauchen kann. Meine Lösung sah folgendermaßen aus:
[mm]a_n={\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n-1}[/mm]
Setze [mm]m:=-2n[/mm].
[mm]a_n={\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n-1}\underset{m:=-2n}{=} {\left(1+\frac{1}{m}\right)}^{-m-1}=\frac{\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{m}\right)}^m}}{1+\frac{1}{m}}\overset{n\to \infty}{\to} \frac{\frac{1}{e}}{1}=\frac{1}{e}[/mm]
Ich nehme mal stark an, dass mein Tutor da a) ein Auge zugedrückt hat, oder b) er den Teil mit [mm]n\to\infty[/mm] übersehen hat, aber so kann ich das doch eigentlich nicht schreiben, oder? Ich müsste doch nach Definiton eigentlich dann [mm]m\to-\infty[/mm] betrachten, oder? Aber dafür habe ich ja dann wiederum eigentlich keinen Grenzwert, da ich ja nur den Grenzwert von [mm]{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n}[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] kenne...
Es wäre also super, wenn mir da jemand von euch weiterhelfen könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und
> bestimmen Sie ggf. die Grenzwerte:
>
> (i) [mm]a_n={\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n-1}[/mm]
>
> [...]
>
>
> Hallo,
>
> es geht hier um eine Aufgabe, die ich schon vor längerer
> Zeit gelöst und laut meinem Tutor auch richtig hatte.
> Jetzt habe ich mir meine Lösung allerdings noch mal
> angeguckt, da ich diesen Teil für eine aktuelle Aufgabe
> gebrauchen kann. Meine Lösung sah folgendermaßen aus:
>
> [mm]a_n={\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n-1}[/mm]
>
> Setze [mm]m:=-2n[/mm].
>
> [mm]a_n={\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n-1}\underset{m:=-2n}{=} {\left(1+\frac{1}{m}\right)}^{-m-1}=\frac{\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{m}\right)}^m}}{1+\frac{1}{m}}\overset{n\to \infty}{\to} \frac{\frac{1}{e}}{1}=\frac{1}{e}[/mm]
>
> Ich nehme mal stark an, dass mein Tutor da a) ein Auge
> zugedrückt hat, oder b) er den Teil mit [mm]n\to\infty[/mm]
> übersehen hat, aber so kann ich das doch eigentlich nicht
> schreiben, oder? Ich müsste doch nach Definiton eigentlich
> dann [mm]m\to-\infty[/mm] betrachten, oder? Aber dafür habe ich ja
> dann wiederum eigentlich keinen Grenzwert, da ich ja nur
> den Grenzwert von [mm]{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n}[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm] kenne...
Das hast Du richtig erkannt.
Mach es so:
$ [mm] a_n={\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n-1}= {\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n} *{\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{-1}$
[/mm]
[mm] {\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{-1} \to [/mm] 1 und
[mm] ${\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n} \to [/mm] 1/e$, da
[mm] ({\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n} [/mm] ) eine Teilfolge von [mm] ({\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n}) [/mm] ist
FRED
>
> Es wäre also super, wenn mir da jemand von euch
> weiterhelfen könnte.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Di 13.12.2011 | | Autor: | Lustique |
> Das hast Du richtig erkannt.
>
> Mach es so:
>
> [mm]a_n={\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n-1}= {\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n} *{\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{-1}[/mm]
>
>
>
> [mm]{\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{-1} \to[/mm] 1 und
>
> [mm]{\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n} \to 1/e[/mm], da
>
> [mm]({\left(1-\frac{1}{2n}\right)}^{2n}[/mm] ) eine Teilfolge von
> [mm]({\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n})[/mm] ist
>
> FRED
Danke dir, aber kann ich denn einfach [mm]{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n} \to 1/e[/mm] annehmen? In der Vorlesung hatten wir nämlich nur den Grenzwert [mm]{\left(1{\color{red}+}\frac{1}{2n}\right)}^{2n} \to e[/mm] und später halt noch die Darstellung der Exponentialfunktion über [mm]\exp(x)=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n[/mm]. Oder wäre das dann einfach [mm]\exp(-x)=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{-x}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{x}{n}\right)^n[/mm] (fällt mir gerade erst auf, als ich zur Sicherheit noch mal die Definition in meiner Mitschrift angeguckt habe, also das man das ja eventuell einfach so umformen könnte ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") ). In meiner aktuellen Aufgabe geht es nämlich genau um [mm]{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{n}[/mm]. Müsste ich das über die Reihendarstellung zeigen, oder geht das doch irgendwie über Substitution, oder einfach wie oben über [mm]\exp(-x)[/mm]?
|
|
|
| |
|
Hallo Lustique,
da kann ich mich ganz kurz fassen. Setze in der Definition von [mm] e^x [/mm] einfach x=-1. Ab da greift Freds Teilfolgenargument, oder Du ersetzt noch mit m=2n und benennst anschließend m in n um. Das sind alles erlaubte Operationen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Di 13.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Lustique,
>
> da kann ich mich ganz kurz fassen. Setze in der Definition
> von [mm]e^x[/mm] einfach x=-1. Ab da greift Freds
> Teilfolgenargument, oder Du ersetzt noch mit m=2n und
> benennst anschließend m in n um. Das sind alles erlaubte
> Operationen.
Na ja, das hängt davon ab, was in der Vorlesung bis jetzt als "erlaubt" begründet wurde.
Lustique, ist [mm] $\exp [/mm] x = [mm] e^x$ [/mm] bereits gezeigt worden?
Gruß
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Di 13.12.2011 | | Autor: | Lustique |
> Na ja, das hängt davon ab, was in der Vorlesung bis jetzt
> als "erlaubt" begründet wurde.
>
> Lustique, ist [mm]\exp x = e^x[/mm] bereits gezeigt worden?
>
> Gruß
>
> Wolfgang
Ich habe mal eben meine Mitschrift durchgesehen. Wir haben streng genommen nur [mm]\exp(n)=e^n[/mm] für [mm]n\in\mathbb{Z}[/mm] gezeigt (Übungsaufgabe), in der Vorlesung wurde es dann aber irgendwann, glaube ich, einfach vorausgesetzt, dass [mm]\exp(x)=e^x[/mm] gilt, also zumindest für [mm]x\in\mathbb{R}[/mm], glaube ich. Aber in dem Fall reicht das ja auch aus, denke ich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Di 13.12.2011 | | Autor: | Lustique |
> Hallo Lustique,
>
> da kann ich mich ganz kurz fassen. Setze in der Definition
> von [mm]e^x[/mm] einfach x=-1. Ab da greift Freds
> Teilfolgenargument, oder Du ersetzt noch mit m=2n und
> benennst anschließend m in n um. Das sind alles erlaubte
> Operationen.
>
> Grüße
> reverend
Alle klar, danke!
|
|
|
|
