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| Aufgabe | Die Funktion f besitzt die Periode 4 und ist im Intervall [-2; 2] grafisch gegeben durch Bild 1.
Gib die ersten drei von null verschiedenen Glieder der zu f gehörenden Fourier-Reihe an. |
Hallo allerseits.
Ich arbeite an der Beantwortung oberer Frage. Ich bin mir aber mit dem Ansatz nicht sicher. Vor allem bei das [mm] \bruch{4}{4} [/mm] vor den Integralen in der letzten Zeile. Muss ich T für jedes Integral anpassen? Der Bereich von -1 bis 1 habe ich weggelassen, da er =0 ist.
Könnt ihr bitte einen Blick drauf werfen?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Do 16.12.2010 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
T ist doch nur die Länge des Bereiches über den du Integrierst.
Der ist ja 4.
Der n-te Fourier-Koeffizient ist ja dann
[mm] $b_n=\bruch{2}{4}\int_{-2}^2f(t)sin(n\omega [/mm] t)$
[mm] $=\bruch{1}{2}\int_{-2}^2f(t)sin(n\omega [/mm] t)$
Du hast dir jetzt sicherlich gedacht, dass
f und der sinus punktsymmetrisch (0-symmetrisch) ist.
Da ist das Integral von -2 bis 0 genau gleich wie dem von 0 bis 2.
Darum nur von 0 bis 2 integrieren und das ganze mal 2:
[mm] $=\int_0^2f(t)sin(n\omega [/mm] t)$
Jetzt hast du die einzelnen Integrale aufgespaltet und da versteh ich nicht mehr warum du noch das von -2 bis -1 hinzunimmst.
Ich würde so weitermachen:
[mm] $=\int_1^2f(t)sin(n\omega [/mm] t)$
Wie es jetzt bei dir weiter geht kann ich leider auf dem was du eingescannt hast nicht mehr erkennen.
Hoffe ich hab dir ein bisschen geholfen.
Das Integral kannst du ja auch von Mathematica oder Maple ausrechnen lassen und dein Ergebnis damit vergleichen.
Grüße
Max
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Danke für deine Antwort.
Ich hatte erst nur den Ansatz der Aufgabe eingescannt, weil ich mir bei den Grenzen nicht sicher war. Deine Erklärung hat mir weiter geholfen. Ich habe die Aufgabe jetzt durchgerechnet. Wir hatten von unserem Prof ein Handout für die Fourier-Reihen bekommen. Da sind die Formeln für die Ansätze angegeben. Ich habe den Ausschnitt unten in den Scan eingefügt. Deine Formel ist hier unter sonstige verzeichnet. Womit ich aber nicht sagen möchte das sie falsch ist. In der Matheformelsammlung von Merziger steht sie ebenfalls drin.
Die beiden Integrale hatte ich aufgespalten, weil ich für den rechten Geraden die folgende Formel ermittelt hatte:
[mm] \integral_{1}^{2}{(\pi*t-\pi) dx}
[/mm]
Aber durch die Punktsymetrie kann ich mir das ja sparen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Integral selbst ist noch richtig.
aber du hast es falsch ausgewertet. differenzier mal dein Ergebnis (mit produktregel) anscheinend hast du (t-1) wie eine Konstante behandelt?
bitte tip deine Ergebnisse ein, mit dem editor. die scans sind kaum lesbar und Korrekturen muss ich ja dann eintippen, während ich sonst direkt reinschreiben kann.
Gruss leduart
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Schusselfehler. Hier mit Rücksicht auf die Produktregel:
[mm] {b_n=\bruch{4}{T}}\integral_{1}^{2}{f(t)sin (n \omega t) dt}
[/mm]
[mm] {b_n=2\bruch{4}{4}}\integral_{1}^{2}{(\pi t-\pi)sin(n\omega t)dt}
[/mm]
[mm] {b_n=2[(t-1)sin(n\omega t)-(\pi t - \pi)\bruch{1}{n\omega}cos(n\omega t)]} [/mm] 2 bis 1
[mm] {b_n=2[(t-1)sin(n\bruch{\pi}{2}t)-(\pi t-\pi)\bruch{2}{n\pi}cos(n\bruch{\pi}{2}t]} [/mm] 2 bis 1
[mm] {b_1=2(2-0)=4}
[/mm]
[mm] {b_2=2(-1-0)=-2}
[/mm]
[mm] {b_3=2(0,67-0)=1,34}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]{b_n=\bruch{4}{T}}\integral_{1}^{2}{f(t)sin (n \omega t) dt}[/mm]
>
> [mm]{b_n=2\bruch{4}{4}}\integral_{1}^{2}{(\pi t-\pi)sin(n\omega t)dt}[/mm]
woher plötzlich die 2*?
> [mm]{b_n=2[(t-1)sin(n\omega t)-(\pi t - \pi)\bruch{1}{n\omega}cos(n\omega t)]}[/mm]
> 2 bis 1
1. warum ziehst du nicht [mm] \pi [/mm] aus der Klammer und dem Integral
2. wie hast du das denn integriert, und hast du mal die Probe mit wieder differenzieren gemacht? ich hab was anderes!wie integrierst du t*sin(at)?
Gruss leduart
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Die 2 kommt durch die Symmetrie. Siehe Post von max3000. Habe als erstes nur die Grundformel hingeschrieben. Beim einsetzen habe ich dann die 2 für die Symmetrie eingesetzt.
[mm] {b_n=2\pi \integral_{1}^{2}{(t-1) sin(n\omega t) dt}}
[/mm]
[mm] {b_n=2\pi \integral_{1}^{2}{[t sin(n\omega t)-sin (n\omega t)] dt}}
[/mm]
[mm] {tsin(n\omega t)dt=\bruch{sin(n\omega t)}{(n\omega)^2}-\bruch{t}{n\omega}cos(n\omega t)}
[/mm]
[mm] {b_n=2\pi[\bruch{sin(n\omega t)}{(n\omega)^2}-\bruch{t}{n\omega}cos(n\omega t)+\bruch{1}{n\omega}cos(n\omega t)]} [/mm] 1 bis 2
Jetzt müsste es aber passen. Komme mit maxima auf das selbe. Versuche nur möglichst viel von Hand zu machen, da ich in der Klausur auch alles per Hand machen muss. :( Sorry wenn ich dich deswegen etwas gestresst habe.
[mm] {b_1=1,453}
[/mm]
[mm] {b_2=-2,000}
[/mm]
[mm] {b_3=1,616}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der Formel steht vor dem Integral 2/T das ist bei dir 2/4
aus der symmetrie kommt damm 4/T=1 für das integral über das halbe Intervall.
die Integration ist jetzt richtig.
aber ich komme auf völlig andere Werte, auch wenn ich deinen faktor 2 berücksichtige!
wenn du die 3 koegg. hast solltest du mal mit nem plotter die summe der 3 sinfkt aufzeichnen, sie sollte eine grobe näherung deiner kurve geben.
die nenner in deinen Brüchen werden doch immer größer, wie könen da die koeffizienten großer werden?
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In dem Handout vom Prof steht unter ungerade Reihen [mm] {b_n=4/T...}. [/mm] Deswegen rechne ich damit. Das [mm] {b_n=2/T...} [/mm] steht für sonstige. Bei der Formel konnte ich jetzt keinen Fehler finden. Mit dem Taschenrechner komme ich auf das selbe.
Die Unterschiede im Ergebnis kommen vermutlich durch die RAD und DEG zustande. Maxima rechnet wie ich gerade gelernt habe in DEG. Das sind die Ergebnisse in RAD:
[mm] {b_1=0,0253}
[/mm]
[mm] {b_2=-0,0349}
[/mm]
[mm] {b_3=0,0282}
[/mm]
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| Aufgabe | [mm] f(t)=\begin{cases} \wurzel{2}, & \mbox{fuer } t \in (0, \bruch{\pi}{4}) \\ 0, & \mbox{fuer } t \in (\bruch{\pi}{4},{\pi}] \end{cases}
[/mm]
Skizzieren Sie f im Intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] |
Noch eine Frage zum Prinzip, ob ich das mit gerade und ungerade verstanden habe. Ich habe nach den Werten von f(t) die Funktion gezeichnet. Es ist weder eine gerade noch eine ungerade Funktion. Richtig?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Gurkenbroetchen,
> [mm]f(t)=\begin{cases} \wurzel{2}, & \mbox{fuer } t \in (0, \bruch{\pi}{4}) \\ 0, & \mbox{fuer } t \in (\bruch{\pi}{4},{\pi}] \end{cases}[/mm]
>
> Skizzieren Sie f im Intervall [mm][0,2\pi][/mm]
>
> Noch eine Frage zum Prinzip, ob ich das mit gerade und
> ungerade verstanden habe. Ich habe nach den Werten von f(t)
> die Funktion gezeichnet. Es ist weder eine gerade noch eine
> ungerade Funktion. Richtig?
Ja. das hast Du richtig verstanden.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | Die Funktion f mit der Periode [mm] {2\pi} [/mm] ist in einer Fourier-Reihe zu entwickeln. Gibt die ersten drei von null verschiedenen Summanden der Reihe an. Im Intervall [mm] {[0,2\pi]} [/mm] ist f grafisch wie folgt gegeben. |
So. Letzte Frage zum Thema. Die eingescannte Grafik ist, abgesehen vom roten Strich, gegeben. Es sollen wieder die Fourierreihen entwickelt werden.
Kann ich einfach einen senkrechten Strich (hier rot) ziehen? Dann hätte ich eine gerade Reihe. Oder darf ich das nicht einfach machen?
Mit dem roten Strich (gerade Funktion) habe ich folgenden Ansatz:
[mm] {f(t)=\bruch{2}{\pi}*t}
[/mm]
[mm] {a_0=\bruch{4}{T}\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{f(t) dt}}
[/mm]
Wenn ich das mit dem Strich nicht einfach machen kann, habe ich folgenden Ansatz:
[mm] {f_1(t)=-\bruch{2}{\pi}*t+2} [/mm] und [mm] {f_2(t)=\bruch{2}{\pi}*t-2}
[/mm]
[mm] {a_0=\bruch{2}{T}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{f(t_1) dt}+{\bruch{2}{T}\integral_{\bruch{3\pi}{4}}^{\pi}{f(t_2) dt}}}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 So 19.12.2010 | | Autor: | Calli |
> ...
> Kann ich einfach einen senkrechten Strich (hier rot)
> ziehen? Dann hätte ich eine gerade Reihe. ...
JA !
> Mit dem roten Strich (gerade Funktion) habe ich folgenden
> Ansatz:
>
> [mm]{f(t)=\bruch{2}{\pi}*t}[/mm]
Woher kommt die Variable t ? Besteht ein Zusammenhang zwischen t und x ?
> [mm]{a_0=\bruch{4}{T}\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{f(t) dt}}[/mm]
>
Ciao Calli
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Danke für die Antwort. :)
Genau. Es gilt {x=t}. Mein Prof hatte das in einer Vorlesung eingeführt. Zum Beispiel für die Eindeutigkeit in manchen Gleichungen. Das hat abgefärbt und inzwischen nutze ich auch meistens {t} statt {x}.
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Dann müsst die Gleichung wie folgt aussehen:
[mm] {f_1(t)=\bruch{2}{\pi}t-2}
[/mm]
Neuer Ansatz:
[mm] {a_0=\bruch{4}{T}\integral_{\bruch{3 \pi}{2}}^{2 \pi}{f(t) dt}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Calli |
> Dann müsst die Gleichung wie folgt aussehen:
>
> [mm]{f_1(t)=\bruch{2}{\pi}t-2}[/mm]
Das ist aber nur eine von zwei Funktionen !
{t=x}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Fr 17.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei ungeraden Reihen nutzt man immer die Symmetrie aus, also halbes Intervall hie von 0 bis 2 und doppeltes integral 2*2/T=4/T=1 bei dir.
Funktionen gibt man praktisch nie in Grad. denn es ist ja [mm] sin(\omega*t) [/mm] eine Abbildungvon R nach R und nicht von irgendeinem Gradraum nach R.
Deine koeffizienten sind wirklich weiter falsch.
du hast doch nur die Werte [mm] sin\pi/^2=1 sin\pi=0 sin(1.5\pi)=-1
[/mm]
[mm] cos\pi/2=0 cos\pi=-1 cos1.5\pi=0 [/mm] einzusetzen? für b1
also
$ [mm] {b_n=\pi[\bruch{sin(n\omega t)}{(n\omega)^2}-\bruch{t}{n\omega}cos(n\omega t)+\bruch{1}{n\omega}cos(n\omega t)]} [/mm] $ 1 bis 2
[mm] b_1=\pi*((0-(-2/\pi-4/\pi)-4/\pi^2)=-1,476
[/mm]
was maxima ist weiss ich nicht, wohl ein programmß wenn du sin(30°) eingibst muss 0.5 rauskommen sonst bei [mm] sin(\pi/6)
[/mm]
jetzt versuch mal b2 und b3 richtig zu berechnen, vielleicht nimmst du nen gewöhnlichen TR, stellst ihn auf rad und rechnest, allerdings sollte man die sin und cos- Werte für Vielfache von /pi/2 eigentlich wissen.
Gruss leduart
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Ach. Also ist die Symmetrie in der Grundformel schon berücksichtigt und ich kann mir die Multiplikation mit 2 sparen. :) Maxima ist ein freies Cumputer Algebra Programm: ![[]](/images/popup.gif) Klick-Mich
Ich habe für [mm] {b_1} [/mm] nochmal Schritt für Schritt gerechnet:
[mm] {b_1=\pi [(0 - (-1,2732) + (-0,6366)) - (0,4053 - 0 + 0)]}
[/mm]
[mm] {b_1=\pi [0,6366 - 0,4053]}
[/mm]
[mm] {b_1=0,7267}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] b_1 [/mm] ist jetzt richtig, ich hatte mich verrechnet.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Calli |
> ...
> [mm]{b_1=1,453}[/mm]
> [mm]{b_2=-2,000}[/mm]
> [mm]{b_3=1,616}[/mm]
Hey, ein Tip !
Die obigen Koeffizienten (Amplituden) sind um den Faktor 2 zu groß !
Ciao
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![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]"){kind=small}
