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Graphen und aufspannende Bäume: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Mi 08.06.2005
Autor: squeezer

Hallo

Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:
Zeige Sie: Jeder zusammenhängende Graph G= (V, E) enthällt einen aufspannenden Baum T von G (d.h enen aufspannenden Untergraphen T von G, der ein Baum ist)

An sich muss ich die Aufgabe direkt beweisen. Es soll auch die Mögichkeit bestehen die Tiefensuche (DFS) oder die Breitensuche (BFS) zu verweden, den verwendeten algorithmus müsste ich dann aber auch beweisen

vielen dank für ihre hilfe

mfg

Marc
        
Bezug
Graphen und aufspannende Bäume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 Mi 08.06.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Marc,

> Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:
>  Zeige Sie: Jeder zusammenhängende Graph G= (V, E) enthällt
> einen aufspannenden Baum T von G (d.h enen aufspannenden
> Untergraphen T von G, der ein Baum ist)

Ich verstehe irgendwie nicht, was es da zu beweisen gäbe. Ein []Spannbaum ist doch gerade so definiert, daß er nur für zusammenhängende Graphen existiert.
(Für nicht zusammenhängende Graphen heißen die Dinger bereits Gerüst.)
Und es ist auch klar, daß jeder zusammenhängende Graph einen solchen Baum haben muß, da ja jeder Knoten in diesem Graph von einem beliebigen anderen Knoten aus erreichbar ist. Wir bestimmen uns also einen beliebigen Knoten in diesem Graph und bestimmen uns zyklenfreie Wege zu jedem anderen Knoten in G. Dann haben wir doch unseren Baum.

Na ja, und zur Bestimmung dieser Wege gibt es ziemlich viele []Algorithmen. Und die Beweise zur Korrektheit dieser Algorithmen sollten sich auch im Netz finden lassen ... .


Viele Grüße
Karl



Bezug
        
Bezug
Graphen und aufspannende Bäume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Do 09.06.2005
Autor: Becci

Hallo,

trotz der Bemerkung vielleicht noch schnell eine vielleicht konkretere Begründung (sollte aber wirklich öfter im inet zu finden sein)

Also, im Grunde willst du einen aufspannenden Untergraphen, der zyklenfrei ist und damit ein Spannbaum.
Wäre also schonmal möglich, folgendes zu tun:

1) Falls G zyklenfrei, ist G sowieso ein Spannbaum für sich selbst. (da zusammenhängend)
sonst 2) Falls G Zyklen enthält, nehme einen beliebigen Zyklus und lösche aus ihm (dem Zyklus :-)) irgendeine Kante  (a,b).
Der resultierende Graph ist immer noch zusammenhängend, da a und b ja (durch den Rest des ehem. Kreises)
immer noch verbunden sind. Außer dem Löschen von (a,b) wurde ja am Graphen nix verändert.
Fange wieder bei 1) an...

Am Ende (keine Zyklen mehr) hast du deinen Stammbaum.
Sollte als (direkter) Beweis eigentlich ausreichen.

Gruß

Becci
Bezug
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