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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:16 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe | | Beschreiben Sie, wie man mit Hilfe der Gramschen Determinante das Volumen eines Tetraeders berechnen kann. Überlegen Sie dazu (ohne Beweis!), wie man aus volumengleichen Tetraedern ein 3-dimensoinales Parallelepiped bauen kann bzw. wie man ein Parallelepiped in volumensgleiche Tetraeder zerlegen kann. |
Ich verstehe nicht so richtig was man hier machen soll.
Meine Argumentation wäre:
Angenommen wir sind in einem n-dimensionalen Raum und haben einen n Dimensionalen Spat, der von n linear unabhängigen Richtungsvektoren v1,..,vN aufgespannt ist.
Sei A die Matrix die die linear unabhängigen Richtungsvektoren v1,...,vN in den Spalten zu stehen hat.
Dann ist die Determinante der Matrix A, das selbe wie die Wurzel der Gramdeterminate von v1,...vN. (Stimmt das?)
Wenn die Vektoren linear abhängig sind, ist das Volumen Null, da der Spat sich nicht aufspannen kann.
Der einzige Unterschied zwischen der Determinate und der Gramdeterminate ist doch, bzgl dem Ausrechnen von Volumen, dass man mit der Gramdeterminante in einem n-Dimensionalen raum, auch von Objekten der Dimesion 1,...,n-1 das Volumen bestimmen kann, oder?
Meine Antwort auf die Frage wär also, wenn v1,v2,v3 das Tetraeder aufspannen, so ist das Volumen davon gleich die hälfte von der Wurzel der Gramdeterminante, da die Wurzel der Gramdeterminate das Spatvolumen von v1,v2,v3 gibt, und 2 Tetraeder genau ein Spat sind. Man könnte auch einfach v1,v2,v3 in eine Matrix schreiben , die Determinate der Matrix ausrechnen und diese halbieren, das wäre doch auch das Volumen des gesuchten Tetraeders, oder?
Gibt es auch eine Möglichkeit das Volumen zu berechnen, ohne die Gramdeterminante zu halbieren?
Ist das eigentlich alles falsch was ich geschrieben habe :D?
Gruss Ninjoo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 28.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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