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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 So 18.10.2009 | | Autor: | CSSX |
| Aufgabe | | Sei (-,-) ein Skalarprodukt. Nehme an die Menge an Vektoren [mm]\{x_i\in\mathbb{R}^n|1 |
Hallo Forum
Ich konnte die obige Aufgabe nicht ganz beweisen. Bisher habe ich bewiesen, dass die Matrix symmetrisch ist (folgt aus der kommutativitaet des Skalarproduktes) und dass die Matrix im Fall [mm]n=2[/mm] positiv definit ist (mit Hilfe des Hauptminorenkriteriums und Chauchy-Schwarz).
Danach wollte ich per Induktion zeigen, dass es fuer alle n gilt, komme jetzt aber nicht weiter. Ich habe mir gedacht ich konstruiere eine Matrix [mm]A_{n+1}[/mm] welche eine Matrix [mm]A_n[/mm] enthaelt welche per Induktionsvorraussetzung positiv definit ist, und zeige dann dass die Determinante [mm]det(A_{n+1})[/mm] groesser Null ist.
Da komme ich jetzt aber genau nicht weiter, als Formel fuer die Determinante habe ich [mm]det(A_{n+1}) = det(A_n)\cdot ((x_{n+1},x_{n+1})-v^T\cdot A_n^{-1}\cdot v)[/mm] mit [mm]v\in\mathbb{R}^n[/mm], [mm]v_i=(x_i,x_{n+1})[/mm] erhalten (also einfach die Matrix entsprechend um eine Dimension erweitert). Ich habs jetzt aber nicht geschafft zu zeigen, dass das >0 sein muss.
Koennte mir jemand einen Tipp geben wie ich das machen kann, oder gibt es eine ganz andere Art wie man das beweisen koennte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit freundlichen Gruessen
Cedric (CSSX)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:09 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Cedric!
> Sei (-,-) ein Skalarprodukt. Nehme an die Menge an Vektoren
> [mm]\{x_i\in\mathbb{R}^n|1
> Die Matrix [mm]A = (a_{ij})_{i,j=1,...,n[/mm] mit [mm]a_{ij}=(x_i,x_j)[/mm]
> ist symmetrisch positiv definit.
>
> Ich konnte die obige Aufgabe nicht ganz beweisen. Bisher
> habe ich bewiesen, dass die Matrix symmetrisch ist (folgt
> aus der kommutativitaet des Skalarproduktes) und dass die
> Matrix im Fall [mm]n=2[/mm] positiv definit ist (mit Hilfe des
> Hauptminorenkriteriums und Chauchy-Schwarz).
>
> Danach wollte ich per Induktion zeigen, dass es fuer alle n
> gilt, komme jetzt aber nicht weiter. Ich habe mir gedacht
> ich konstruiere eine Matrix [mm]A_{n+1}[/mm] welche eine Matrix [mm]A_n[/mm]
> enthaelt welche per Induktionsvorraussetzung positiv
> definit ist, und zeige dann dass die Determinante
> [mm]det(A_{n+1})[/mm] groesser Null ist.
Ich weiss nicht ob Induktion hier der beste Ansatz ist.
> Koennte mir jemand einen Tipp geben wie ich das machen
> kann, oder gibt es eine ganz andere Art wie man das
> beweisen koennte?
Ja: da $A$ symmetrisch ist, gibt es ja eine Orthogonale Matrix $T$ mit [mm] $T^t [/mm] A T$ in Diagonalform. Du musst zeigen, dass die Diagonaleintraege positiv sind.
Jetzt ueberleg dir mal, dass [mm] $T^t [/mm] A T$ wieder eine Grammatrix ist von $(-,-)$, jedoch bezueglich einer anderen Basis. Jetzt verwende, dass $(-,-)$ positiv definit ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Mo 19.10.2009 | | Autor: | CSSX |
Danke, das hat mir weitergeholfen.
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