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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 So 02.09.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Sei V= [ p [mm] \in \IR[/mm] [t] : grad p [mm] \le [/mm] 3 ] der Raum der reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3. Durch <p,q> ? p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)+p(3)q(3) ist ein Skalarprodukt auf V definiert.
Bestimmen sie nun die orthogonale Projektion von p(x) = [mm] x^3 [/mm] auf den Unterraum U = span [mm] \{ 1,x \} [/mm] |
Hoi
Irgendwie versteh ich das GramSchmidt Verfahren nicht so ganz.
[mm] v_1' [/mm] = 1, unklar
<1,1> = 4 klar
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}, [/mm] unklar
Ich kenn das nur mit Vektoren, wo dann a = [mm] \frac{v}{||v||}
[/mm]
Die Norm von [mm] v_1 [/mm] ist für mich aber [mm] \sqrt{1^2+1^2} [/mm] = [mm] \sqrt{2}. [/mm] Wie kommt man dann auf die Ergebnisse?
<x,1> = 1*1+2*1+3*1 = 6 ist mir klar
[mm] v_2' [/mm] = x - [mm] v_1 [/mm] = x- [mm] \frac{1}{4} [/mm] <x,1> * 1 = [mm] x-\frac{3}{2}
[/mm]
Mir ist unklar, waurm [mm] v_1 [/mm] plötzlich =1 ist. Oben sollte es doch noch 1/2 sein?
Könnt ihr mir diese paar Fragen beantworten?
danke
Wehm
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Halo Wehm,
> Sei V= [ p [mm]\in \IR[/mm] [t]: grad p [mm]\le[/mm] 3 ] der Raum der reellen Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3. Durch <p,q> ? p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)+p(3)q(3) ist ein Skalarprodukt auf V definiert.
> Bestimmen sie nun die orthogonale Projektion von p(x) = [mm]x^3[/mm] auf den Unterraum U = span [mm]\{ 1,x \}[/mm]
> Hoi
>
> Irgendwie versteh ich das GramSchmidt Verfahren nicht so ganz.
>
> [mm]v_1'[/mm] = 1, unklar
das ist doch bei GS so festgelegt, der erste Vektor bleibt fest und wird am Schluss noch normiert, wenn du eine ONB brauchst
> <1,1> = 4 klar
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\frac{1}{2},[/mm] unklar
es ist [mm] $||v_1'||=\sqrt{\langle v_1',v_1'\rangle}=\sqrt{4}=2$ [/mm] , also [mm] $v_1=\frac{v_1'}{||v_1'||}=\frac{1}{2}$
[/mm]
>
> Ich kenn das nur mit Vektoren, wo dann a = [mm]\frac{v}{||v||}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Norm von [mm]v_1[/mm] ist für mich aber [mm]\sqrt{1^2+1^2}[/mm] = [mm][mm] \sqrt{2}. [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das ist die Norm von [mm] v_1' [/mm] bzgl des Standardskalarproduktes, aber du musst ja hier deine Rechnungen alle bzgl. des oben gegebenen Skalarproduktes machen
> Wie kommt man dann auf die Ergebnisse?
s.o.
> <x,1> = 1*1+2*1+3*1 = 6 ist mir klar
mir auch 
>
> [mm]v_2'[/mm] = x - [mm]v_1[/mm] = x- [mm]\frac{1}{4}[/mm] <x,1> * 1 = [mm]x-\frac{3}{2}[/mm]
>
> Mir ist unklar, waurm [mm]v_1[/mm] plötzlich =1 ist. Oben sollte es doch noch 1/2 sein?
mit GS [mm] ortho\underline{gonal}isiert [/mm] man für gewöhnlich zuerst und normiert ganz am Schluss
Hier sind die Vektoren der zu span(1,x) zu berechnenden Orthogonalbasis [mm] v_1' [/mm] und [mm] v_2' [/mm] genannt und werden am Schluss NORMIERT und [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] genannt.
Der Weg bei der Berechnung mit GS führt also über die Berechnung einer OrthoGONALbasis [mm] \{v_1',v_2'\} [/mm] und anschließendes NORMIEREN zur ONB [mm] \{v_1,v_2\}
[/mm]
> Könnt ihr mir diese paar Fragen beantworten?
Ich versuch's
> danke
keine Ursache, ich hoffe, es ist etwas klarer geworden
> Wehm
>
LG
schachuzipus
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Hi nochmal kurz,
in dieser Zeile hier muss es also heißen:
> [mm]v_2'[/mm] = x - [mm] \frac{}{\red{}}v_1\red{'} [/mm] = x- [mm]\frac{1}{4}[/mm] <x,1> * 1 = [mm]x-\frac{3}{2}[/mm]
Dann ist [mm] v_2=\frac{v_2'}{||v_2'||}=....
[/mm]
Bzgl. des oben def. Skalarproduktes
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 02.09.2007 | | Autor: | Wehm |
hallo
> Hi nochmal kurz,
>
>
> in dieser Zeile hier muss es also heißen:
>
> > [mm]v_2'[/mm] = x -
> [mm]\frac{}{\red{}}v_1\red{'}[/mm] = x-
> [mm]\frac{1}{4}[/mm] <x,1> * 1 = [mm]x-\frac{3}{2}[/mm]
>
> Dann ist [mm]v_2=\frac{v_2'}{||v_2'||}=....[/mm]
>
> Bzgl. des oben def. Skalarproduktes
Kann man auch so argumentieren
[mm] v_2' [/mm] = x- [mm] v_1 [/mm] = x - [mm] \frac{1}{2} [/mm] = x - [mm] \frac{1}{2} \frac{1}{2} [/mm] <x,1>1 ?
Müsste das Gleiche herauskommen?
Also irgendwie habe ich gerade ein gewaltiges Brett vorm Kopf
Aber trotzdem 1000 Dank, schachuzipus. DAs hat schon einmal sehr weitergeholfen. Aber über das gesamte Verfahren muss ich noch einmal nachdenken.
Gruß
Wehm
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Oi Wehm,
ja, das klappt auch, da berechnest du halt immer zuerst einen orthogonalen Vektor und normierst den dann direkt.
Schau mal hier rein, da ist das ganz gut erklärt, und es werden ein paar Bspe. gerechnet
http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
LG
schachuzipus
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