Graduierter Ring, Homog. Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $R$ ein [mm] $\IN$-graduierter [/mm] Ring und $I$ ein homogenes Ideal, das von homogenen Elementen [mm] $h_i$ [/mm] erzeugt werde. Sei [mm] $h\in [/mm] I$ ein homogenes Element. Dann kann man [mm] $h=\sum a_ih_i$ [/mm] schreiben mit [mm] $a_i$ [/mm] homogen vom Grad [mm] $\deg h-\deg h_i$. [/mm] |
Hallo,
diese Aussage steht bei mir unbewiesen im Fließtext, vermutlich ist die Aussage also trivial, ich kann sie aber nicht einsehen. Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mo 12.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]R[/mm] ein [mm]\IN[/mm]-graduierter Ring und [mm]I[/mm] ein homogenes Ideal,
> das von homogenen Elementen [mm]h_i[/mm] erzeugt werde. Sei [mm]h\in I[/mm]
> ein homogenes Element. Dann kann man [mm]h=\sum a_ih_i[/mm]
> schreiben mit [mm]a_i[/mm] homogen vom Grad [mm]\deg h-\deg h_i[/mm].
Schreibe $h = [mm] \sum_i b_i h_i$ [/mm] mit [mm] $b_i \in [/mm] R$. Schreibe [mm] $b_i [/mm] = [mm] \sum_{n\in\IN} b_{in}$ [/mm] mit [mm] $b_{in} \in R_n$. [/mm] Dann ist [mm] $b_i h_i [/mm] = [mm] \sum_{n \ge 0} b_{in} h_i \in [/mm] I$. Sei nun [mm] $a_i [/mm] := [mm] b_{in}$ [/mm] mit $n = [mm] \deg [/mm] h - [mm] \deg h_i$ [/mm] falls [mm] $\deg [/mm] h [mm] \ge \deg h_i$, [/mm] und [mm] $a_i [/mm] := 0$ sonst. Jetzt muss wegen der Graduierung $h = [mm] \sum_i a_i h_i$ [/mm] sein.
(Du brauchst hier gar nicht explizit, dass $I$ graduiert ist: es reicht aus, dass es von homogenen Elementen erzeugt wird. Tatsächlich gilt: $I$ ist genau dann graduiert, wenn es von homogenen Elementen erzeugt werden kann.)
LG Felix
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Hallo Felix,
und danke sehr für deine Antwort! Ich bin leider in der letzten Zeit unter anderem abiturbedingt etwas von dieser Thematik abgedriftet. Ich würde aber gerne noch einmal darauf zurückkommen. Mir wird leider nicht klar, wie ich aus der Graudierung schließen kann, dass [mm] $h=\sum a_ih_i$. [/mm] Könntest du das noch einmal ausführen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Sa 07.02.2015 | | Autor: | felixf |
Moin UO,
> und danke sehr für deine Antwort! Ich bin leider in der
> letzten Zeit unter anderem abiturbedingt etwas von dieser
> Thematik abgedriftet. Ich würde aber gerne noch einmal
> darauf zurückkommen. Mir wird leider nicht klar, wie ich
> aus der Graudierung schließen kann, dass [mm]h=\sum a_ih_i[/mm].
> Könntest du das noch einmal ausführen?
Sei $R = [mm] \bigoplus_{n\in\IN} R_n$.
[/mm]
Wegen $h = [mm] \sum_i b_i h_i [/mm] = [mm] \sum_i \sum_n b_{in} h_i$ [/mm] und da [mm] $h_i$ [/mm] homogen ist -- genauer [mm] $h_i \in R_{\deg h_i}$ [/mm] -- hast du $h = [mm] \sum_i \sum_n b_{in} h_i$ [/mm] mit [mm] $b_{in} h_i \in R_{n + \deg h_i}$. [/mm] Indem du anders summierst, kannst du also $h = [mm] \sum_n \sum_i b_{i,n - \deg h_i} h_i$ [/mm] schreiben (mit [mm] $b_{in} [/mm] = 0$ für $n < 0$), und hast [mm] $\sum_i b_{i,n - \deg h_i} h_i \in R_n$. [/mm] Da $h$ homogen ist, mit $h [mm] \in R_{\deg h}$, [/mm] ist also [mm] $\sum_i b_{i,n - \deg h_i} h_i [/mm] = 0$ für alle $n [mm] \neq \deg [/mm] h$, womit du $h = [mm] \sum_i b_{i,\deg h - \deg h_i} h_i$ [/mm] hast.
Mit [mm] $a_i [/mm] := [mm] b_{i,\deg h - \deg h_i} \in R_{\deg h - \deg h_i}$ [/mm] hast du also $n = [mm] \sum_i a_i h_i$ [/mm] mit [mm] $a_i$ [/mm] homogen von Grad [mm] $\deg [/mm] h - [mm] \deg h_i$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Sa 07.02.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]R = \bigoplus_{n\in\IN} R_n[/mm].
Vielleicht ist das ganze etwas einfacher zu sehen, wenn du dir $R$ als Menge von Folgen [mm] $(r_0, r_1, r_2, \dots)$ [/mm] vorstellst mit [mm] $r_i \in R_i$. [/mm] Multiplikation mit [mm] $h_i$ [/mm] ist eine Verschiebung der Folge um [mm] $\deg h_i$ [/mm] und Multiplikation jedes einzelnden Eintrags mit [mm] $h_i$, [/mm] also $(0, [mm] \dots, [/mm] 0, [mm] r_0 h_i, r_1 h_i, r_2 h_i, [/mm] ...)$ mit dem ersten Eintrag [mm] $\neq [/mm] 0$ an der [mm] $(\deg h_i)$-ten [/mm] Stelle.
LG Felix
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Vielen Dank Felix!
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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