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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | | b) Sei [mm] x_i=(x_i^1,x_i^2) [/mm] die i-te Iterierte. Zeigen Sie: [mm] x_{i+1}^1=\rho x_i^1 [/mm] und [mm] x_{i+1}^2=-\rho x_i^2. [/mm] Wie lautet [mm] \rho? [/mm] |
Hallo!
Ich suche einen Ansatz zu obiger Aufgabe. Wie könnte man das zeigen?
Außerdem habe ich über das Gradientenverfahren noch nicht allzu viel in der Literatur bzw. im Internet gefunden. Kennt da jemand zufällig eine gute Seite?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
Allein aus dem Gradientverfahren selbst sind deine Formeln imho nicht zu berechnen gibts eine Funktion die mit Gradientenverfahren bearbeitet werden soll?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hi!
Sorry, das hatte ich ganz vergessen, natürlich:
[mm] A=\pmat{1&0\\0&a} [/mm] und [mm] b=\vektor{0\\0}
[/mm]
Und in Teil a) wurde noch der Startvektor [mm] x_0=\vektor{a\\1} [/mm] gegeben und die Suchrichtung [mm] d_0, [/mm] der erste Skalar [mm] \alpha_0 [/mm] und die erste Iterierte [mm] x_1 [/mm] sollten berechnet werden. Das habe ich schon gemacht, aber irgendwie weiß ich gerade nicht, wo ich das aufgeschrieben habe... Bei mir geht hier in letzter Zeit so Einiges durcheinander.
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiane,
probieren wir es einmal mit der Aufgabe, und ich darf kurz ausholen, um meine
Erinnerung wieder wachzurufen:
Wir wollen Ax=b iterativ loesen und dazu die Funktion [mm] f(x)=\frac{1}{2}x^TAx [/mm] -b^Tx
minimieren. Es ist [mm] x_0= [/mm] (a, [mm] 1)^T. [/mm] Berechne das ''Startresiduum''
[mm] r^0 [/mm] = [mm] b-Ax_0 [/mm] = [mm] \vector{0 \\0} [/mm] - [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & a}\cdot\vector{a\\1}
[/mm]
= [mm] \vector{-a\\ -a} [/mm]
Die Schrittweite ist dann
[mm] \alpha_0 [/mm] = [mm] \frac{}{}=\frac{2a^2}{a^2(a+1)}=\frac{2}{a+1}
[/mm]
Dann ist [mm] x^1=x^0+\alpha_0\cdot r^0=\vector{a\\1}+\frac{2}{a+1}\cdot\vector{-a\\-a}
[/mm]
Richtig soweit ?
Geht wahrscheinlich gleich weiter.....
Gruss,
Mathias
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Hallo Bastiane !
Ok, ich musste gerade nochmal nachlesen, was die Aufgabe war.
Also zum Teil (b) : Wenn ich mich vorhin nicht verrechnet habe, ergibt sich in der ersten Iteration
[mm] x_1=\frac{a-1}{a+1}\cdot\vektor{a \\-1} [/mm]
womit dann [mm] \rho=\frac{a-1}{a+1} [/mm] waere. Jetzt muss man zeigen, dass es mit diesem
[mm] \rho [/mm] in jeder Iteration stimmt. Das koennen wir ja mal induktiv versuchen: Wenn also
[mm] \vektor{x_i^1 \\x_i^2} [/mm] = [mm] \frac{a-1}{a+1}\cdot \vektor{x_{i-1}^1 \\ -x_{i-1}^2} [/mm]
ist (Induktionsannahme), so gilt doch also
[mm] \vektor{(x_i^1) \\ (x_i^2)} [/mm] = [mm] \left (\frac{a-1}{a+1}\right )^i\cdot \vektor{x_0^1 \\(-1)^i\cdot x_0^2}
[/mm]
und dies setzen wir in die Rechenregeln fuer den naechsten Iterationsschritt ein:
(Puh....)
Residuum:
[mm] r_i [/mm] = [mm] b-A\cdot x^i [/mm] = [mm] (-1)\cdot \left ( \frac{a-1}{a+1}\right )^i\cdot\vektor{a \\(-1)^i\cdot a}
[/mm]
Skalarprodukt
[mm] [/mm] = [mm] \left ( \frac{a-1}{a+1}\right )^{2i}\cdot 2\cdot a^2
[/mm]
[mm] w^i=A\cdot r^i [/mm] = [mm] -\left (\frac{a-1}{a+1}\right )^i\cdot a\cdot \vektor{1 \\(-1)^i\cdot a}
[/mm]
Skalarprodukt
[mm] [/mm] = [mm] \left (\frac{a-1}{a+1}\right^{2i}\cdot a\cdot (a+a^2)
[/mm]
Dann ist die neue Schrittweite
[mm] \alpha_i [/mm] = [mm] \frac{}{} [/mm] = [mm] \frac{2}{a+1}
[/mm]
und [mm] x_{i+1}=x_i [/mm] + [mm] \alpha_i\cdot r^i= \left (\frac{a-1}{a+1}\right )^i\cdot \vektor{a \\(-1)^i}
[/mm]
+ [mm] \frac{2}{a+1}\cdot (-1)\cdot \left (\frac{a-1}{a+1}\right )^i\cdot a\cdot \vektor{1 \\(-1)^i}
[/mm]
= [mm] \left ( \frac{a-1}{a+1}\right )^i\cdot \left ( \vektor{a \\ (-1)^i}-\frac{2a}{a+1}\cdot\vektor{1 \\ (-1)^i}\right [/mm] )
Kann das sein, dass ich mich irgendwo verrechnet habe ???
Also, der Loesungsansatz sollte aber so gehen.
Ich drueck mal den Button und schau dann nochmal. Vielleicht hilft das ja schon mal weiter....
Liebe Gruesse,
Mathias
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Hallo Mathias,
Du hast das ja nun so interpretiert als sei das CG-Verfahren gemeint da dies endlich ist (also irgendwann sollte [mm] x_{i+1}=x_i [/mm] gelten), macht die Aufgabe nat. nur insoweit Sinn wenn man die Iterationen betrachtet bei denen etwas passiert. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Also irgendwas kapier ich da nicht.
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:12 Di 17.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo Christiane und Christian,
also von mir aus ist es das CG-verfahren. Jedenfalls ist es mit dem, was ich
als Grad.Verfahren benutzt habe und dem, was meiner Rechnung nach herauskommt, genau so wie in der Aufgabenstellung verlangt/behauptet. Annahmen ueber die Iterationen
mach ich ja nicht, so dass die Aussage dann fuer alle Iteratione gelten sollte.
Also kann es sein, dass das CG-Verfahren doch nicht endlich ist ?
(Die Dinge liegen bei mir schon was weiter zurueck, ich lass mich hier gern korrigieren.)
Gruesse,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Mi 18.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo Christian,
danke fuer die Information,
mir fallen Steine vom Herzen. 
Gruesse an alle Freunde iterativer Verfahren !
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mi 18.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo Bastiane, und hallo Freunde der Numerik,
probieren wir doch mal, ob die noch ausstehende Umformung klappt:
der letzte Term ist gleich (wieder ein puh)
[mm] \left (\frac{a-1}{a+1}\right )^i\cdot \vektor{ \frac{a(a+1)-2a}{a+1}\\ (-1)^i\cdot (1-\frac{2a}{a+1}}
[/mm]
= [mm] \left (\frac{a-1}{a+1}\right )^i\cdot \vektor{\frac{a(a-1)}{a+1}\\ (-1)^i\cdot \frac{a+1-2a}{a+1}}
[/mm]
= [mm] \left (\frac{a-1}{a+1}^i\cdot \vektor{ \frac{a(a-1)}{a+1}\\ (-1)^i\cdot (-1)\cdot \frac{a-1}{a+1}}
= \left (\frac{a-1}{a+1}\right )^i\cdot \frac{a-1}{a+1}\cdot\vektor{a\\ (-1)^{i+1}}
und das sollte jetzt hoffentlich beim Induktionsbeweis auch rauskommen, oder ?
Liebe Gruesse,
Mathias
[/mm]
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
CG-Verfahren
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
) - ich wollte mich doch auch noch auf diesem Wege für diese ausführliche Lösung bedanken. ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
