Gradientenvektorfelder < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Di 23.07.2013 | | Autor: | capri |
Hallo, ich habe mal eine allgemeine Frage ich habe jetzt eine Formel gefunden, um zu überprüfen ob es ein Gradientenvektorfeld ist oder nicht.
Als Bsp:
f(x,y)= (xsin(y),x^2cos(y))
überprüfe: [mm] \bruch{df_1}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{df_2}{dx}
[/mm]
hier in dem Fall ist es ungleich was daraus folgt, dass es kein Gradientenvektorfeld ist.
Nun zu meiner Frage wenn wir ein f(x,y,z) haben wie ist denn die Formel?
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Hallo capri,
> Hallo, ich habe mal eine allgemeine Frage ich habe jetzt
> eine Formel gefunden, um zu überprüfen ob es ein
> Gradientenvektorfeld ist oder nicht.
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> Als Bsp:
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> f(x,y)= (xsin(y),x^2cos(y))
>
> überprüfe: [mm]\bruch{df_1}{dy}[/mm] = [mm]\bruch{df_2}{dx}[/mm]
>
> hier in dem Fall ist es ungleich was daraus folgt, dass es
> kein Gradientenvektorfeld ist.
> Nun zu meiner Frage wenn wir ein f(x,y,z) haben wie ist
> denn die Formel?
>
Ist f(x,y,z) in der Form
[mm]f\left(x,y,z}\right)=\pmat{f_{1}\left(x,y,z\right) \\ f_{2}\left(x,y,z\right) \\ f_{3}\left(x,y,z\right) }[/mm]
gegeben, dann sind folgende Gleichungen zu überprüfen:
[mm]\bruch{\partial f_1}{\partial y} = \bruch{\partial f_2}{\partial x}[/mm]
[mm]\bruch{\partial f_1}{\partial z} = \bruch{\partial f_3}{ \partial x}[/mm]
[mm]\bruch{\partial f_2}{\partial z} = \bruch{\partial f_3}{\partial y}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo capri,
eine Ergänzung zu MathePowers Antwort:
Hast du eine Funktion [mm] f:G\to\IR^n [/mm] mit [mm] G\subseteq\IR^n [/mm] gegeben, dann ist stets zu untersuchen:
[mm] \frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i} [/mm] mit [mm] i,j={1,\ldots,n}, i\not=j
[/mm]
Im [mm] \IR^3 [/mm] ist das äquivalent zur Wirbelfreiheit (Rotation von f verschwindet).
Diese Eigenschaft ist notwendig, aber i.A. nicht hinreichend!
Zu untersuchen ist immer noch, ob G einfach zusammenhängend ist.
Beispiel dafür:
$ [mm] f(x,y)=(\frac{-y}{x{}^2+y{}^2},\frac{x}{x{}^2+y{}^2}) [/mm] $
Rotation verschwindet, aber Integration über Einheitskreis liefert $ [mm] 2\pi [/mm] $ als Ergebnis, also ist f(x,y) kein Gradientenfeld!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Di 23.07.2013 | | Autor: | capri |
ok Danke,
nehmen wir mal als Bsp:
[mm] g(x,y,z)=(z+2xy,e^y+x^2,ln(x))
[/mm]
wenn ich nun überprüfe sind 2 gleich und einer ungleich.
Was passiert dann?
bei mir ist [mm] \bruch{df_1}{dz} [/mm] ungleich [mm] \bruch{df_3}{dx}
[/mm]
Da alle 3 Formeln nicht übereinstimmen ist es kein Gradientenvektorfeld oder?
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> ok Danke,
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> nehmen wir mal als Bsp:
>
> [mm]g(x,y,z)=(z+2xy,e^y+x^2,ln(x))[/mm]
>
> wenn ich nun überprüfe sind 2 gleich und einer ungleich.
> Was passiert dann?
> bei mir ist [mm]\bruch{df_1}{dz}[/mm] ungleich [mm]\bruch{df_3}{dx}[/mm]
> Da alle 3 Formeln nicht übereinstimmen ist es kein
> Gradientenvektorfeld oder?
Genau so ist es.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Di 23.07.2013 | | Autor: | capri |
ok Danke. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Di 23.07.2013 | | Autor: | capri |
Als letzes Bsp. nehmen wir mal an wir haben
[mm] f(x,y)=(1-\bruch{y^2}{x^2},\bruch{2y}{x})
[/mm]
wenn ich es überprüfe sind die jeweiligen Ableitungen gleich was daraus folgt, dass es ein Gradientenvektorfeld ist.
Nun muss ich eine Stammfunktion bilden:
[mm] F_x=1-\bruch{y^2}{x^2} F_y=\bruch{2y}{x}
[/mm]
[mm] F_x=1-\bruch{y^2}{x^2} [/mm] daraus folgt [mm] F=x+\bruch{y^2}{x}+c(t)
[/mm]
daraus folgt [mm] F_y=\bruch{2y}{x}+c'(t) [/mm] und daraus folgt [mm] \bruch{2y}{x}+c'(t)= \bruch{2y}{x} [/mm] und dann ist c'(t)=0 c(t)=0
also ist [mm] x+\bruch{y^2}{x}+0=x+\bruch{y^2}{x} [/mm] eine Stammfkt von f?
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Hallo capri,
> Als letzes Bsp. nehmen wir mal an wir haben
>
> [mm]f(x,y)=(1-\bruch{y^2}{x^2},\bruch{2y}{x})[/mm]
>
> wenn ich es überprüfe sind die jeweiligen Ableitungen
> gleich was daraus folgt, dass es ein Gradientenvektorfeld
> ist.
> Nun muss ich eine Stammfunktion bilden:
>
> [mm]F_x=1-\bruch{y^2}{x^2} F_y=\bruch{2y}{x}[/mm]
>
> [mm]F_x=1-\bruch{y^2}{x^2}[/mm] daraus folgt
> [mm]F=x+\bruch{y^2}{x}+c(t)[/mm]
> daraus folgt [mm]F_y=\bruch{2y}{x}+c'(t)[/mm] und daraus folgt
> [mm]\bruch{2y}{x}+c'(t)= \bruch{2y}{x}[/mm] und dann ist c'(t)=0
> c(t)=0
> also ist [mm]x+\bruch{y^2}{x}+0=x+\bruch{y^2}{x}[/mm] eine Stammfkt
> von f?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Di 23.07.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Mathepower,
also ich bin dagegen!
Das geschlossene Kurvenintegral ist nicht verschwindend (z.B. über Einheitskreis).
Obige Funktion f(x,y) ist meiner Meinung nach kein Gradientenfeld auf ganz G, sondern nur in den entsprechenden Halbebenen.
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Hallo,
geg.: Funktion [mm] f:G\to\IR^2, [/mm] $ [mm] f(x,y)=(1-\bruch{y^2}{x^2},\bruch{2y}{x}) [/mm] $
ist G einfach zusammenhängend?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 23.07.2013 | | Autor: | capri |
wie jetzt nun? :S
Also ich sag mal so da es eine Klausuraufgabe war 1a) f(x,y) und 1b) mit g(x,y,z). da g(x,y,z) kein gradientenvektorfeld war müsste eig (1a) mit f(x,y) ein Gradientenvektorfeld sein, damit der prof. prüfen kann ob man die Stammfkt davon auch bilden kann als Student.
Aber wie gesagt ich könnte ja auch daneben liegen :)
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Ja, passt schon,
aber die Funktion ist eben auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] definiert mit Ausnahme der reellen y-Achse.
Man muss jetzt aufpassen, wie man den Weg wählt. Weg über Einheitskreis geht z.B. nicht, schließlich kreuzt man ja auch die y-Achse.
Also ja, Gradientenfeld in den jeweiligen Halbebenen.
Das sollte man durchaus mal erwähnen.
Deine Taktik bzgl. der Aufgabenstellung von deinem Prof ging also glücklicherweise auf. 
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