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Habe folgendes Problem:
Berechnen Sie den Gradienten der Funktion
[mm] f(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{ln(\summe_{i=1}^{n}x_{i}^2)}{\summe_{i=1}^{n}x_{i}^2} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0, x = [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}).
[/mm]
Ich habe keine Ahnung, wie ich ansetzen soll. Sonst habe ich immer partiell abgeleitet, weiß aber nicht, wie das hier gehen soll. Könnt Ihr mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 So 19.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst doch nur partielle ableitungen fuer den grad. Wo liegt die Schwierigkeit? Quotientenregel, und innerhalb Kettenregel.
da es fuer jedes i daselbe ist machs doch erst mal fuer x1 dann koennen wir ja kontrollieren.
Gruss leduart
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Ja, mit dem Gradienten weiß ich, aber das sind ja hier unendlich viele veränderliche! Deswegen weiß ich nicht weiter! Nach x1 abzuleiten ist kein Problem.
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Hallo Morpheus,
> Ja, mit dem Gradienten weiß ich, aber das sind ja hier
> unendlich viele veränderliche!
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich sehe hier n Veränderliche ...
Das sind doch endlich viele (wenn auch beliebig viele) oder nicht?
Der Gradient ist also ein Vektor aus dem [mm] $\IR^n$
[/mm]
> Deswegen weiß ich nicht weiter! Nach x1 abzuleiten ist kein Problem.
Ja, schwierig ist es nicht ...
LG
schachuzipus
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Ja, mag sein. Ich weiß halt trotzdem nicht, wie ich die partielle Ableitung nach n - Variablen aufschreibe und dann halt den Gradienten, eben wegen der Summenschreibweise.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 19.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schreibst ihn ebenso hin , wie der Auftraggeber mit
Puenktchen , der hat ja auch nicht alle n x aufgeschrieben.
oder einfach die ite Komponente aufschreiben,
also grad [mm] =\vec{a} [/mm] mit [mm] a_i=deine [/mm] Ergebnis.
oder als Summe [mm] a_i*e_i [/mm] : [mm] e_i [/mm] einheitsvektoren in [mm] x_i [/mm] Richtung.
Gruss leduart
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Also als Ergebnis habe ich hier stehen:
[mm] \bruch{\partial F}{\partial x_{j}}(x) [/mm] = [mm] 2x_{j}(1-ln(\summe_{i=1}^{n}x_{i}^2))\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}x_{i}^2)^2}
[/mm]
Und da komme ich nicht drauf! :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 So 19.07.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Also ich hab die Funktion umgeschrieben zu
[mm] f(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{ln(x_{1}^2+,...,+x_{n}^2)}{x_{1}^2+,...,+x_{n}^2}
[/mm]
Nur jetzt muss ja nach n-Variablen abgeleitet werden, und das weiß ich nicht, wie ich das schreiben soll!
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Hallo nochmal,
> Also als Ergebnis habe ich hier stehen:
>
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial x_{j}}(x)[/mm] = [mm]2x_{j}(1-ln(\summe_{i=1}^{n}x_{i}^2))\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}x_{i}^2)^2}[/mm]
>
> Und da komme ich nicht drauf! :(
Oben hast du gesagt, dass du partiell ableiten kannst ...
Hmm, ok nehmen wir mal die Ableitung nach [mm] $x_1$
[/mm]
Wir haben [mm] $f(x_1,...,x_n)=\frac{\ln(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)}{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$
[/mm]
Das nach [mm] $x_1$ [/mm] abgeleitet ergibt mit Quotienten- und Kettenregel:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,...,x_n)=\frac{\frac{1}{\blue{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}}\cdot{}2x_1\cdot{}(\blue{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2})-\ln(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)\cdot{}2x_1}{(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{2x_1\cdot{}\left[1-\ln(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)\right]}{(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^2}$
[/mm]
Das kannst du wieder als Summe schreiben
[mm] $=\frac{2x_1\cdot{}\left(1-\ln\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)\right)}{\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i^2\right)^2}$
[/mm]
Für die anderen Komponenten, insbesondere für die Ableitung nach [mm] $x_j$ [/mm] geht das analog
LG
schachuzipus
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