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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:57 So 29.06.2008 | | Autor: | marc62 |
| Aufgabe 1 | | Zeigen sie: Es sei [mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] der räumliche Abstand des Punktes P=(x,y,z) vom Ursprung. Dann besitzt deas Skalare Feld [mm] \Phi(x,y,z)=lnr [/mm] den Gradienten [mm] grad\Phi=\bruch{1}{r^2}*\vecr [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen sie die Divergenz des Gradienten der skalaren Funktion [mm] \Phi(x,y,z)=(x-1)^2+(y-5)^2+z^2 [/mm] |
Ich bräuchte zu den Aufgaben dringend eine Lösung. Wenn einer von euch eine hat wär ich wirklich dankbar!
Zu 1: sollte man hier zuertst die PArtiellen Ableitungen bestimmen ?
r ist doch im Prinzip der Betrag des Vektor und bildet somit den
Abstand , oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 So 29.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo marc.
1. Aufgabe 1 musst du was falsch abgeschrieben haben, [mm] grad\Phi [/mm] ist ein Vektor, bei dir steht ein Skalar .
2. Wir liefern keine Lösungen!
weisst du, was grad f(x,y,z) ist? warum bildest du ihn nicht, indem du r in [mm] \Phi [/mm] einsetzest?
ja, was r ist steht doch in der Aufgabe, und natürlich brauchst du bei beiden Aufgaben die partiellen Ableitungen, dadurch ist doch grad ( und div) definiert.
Wenn du hier, bei der einfachen Aufgabe ne Lösung bekämst, würdest du nie lernen was grad und div sind, und wie man sie aufschreibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 29.06.2008 | | Autor: | marc62 |
| Aufgabe | zu 1,
sorry sieht natürlich so aus : $ [mm] grad\Phi=\bruch{1}{r^2}\cdot{\vec r} [/mm] |
Die Partiellen Ableitung müssen doch dann addiert werden und wenn dann im Zähler 1 rauskommt würde das doch so stimmen?
[mm] \medskip\par $\displaystyle [/mm] = {xlog [mm] \over \sqrt{z^2 +y^2 +x^2 }} [/mm] $ + [mm] \medskip\par $\displaystyle [/mm] {ylog [mm] \over \sqrt{z^2 +y^2 +x^2 }} [/mm] $+ [mm] \medskip\par $\displaystyle [/mm] {zlog [mm] \over \sqrt{z^2 +y^2 +x^2 }} [/mm] $
und was ist jetzt mit [mm] \vec [/mm] r
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 So 29.06.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein.
Du hast eine skalare Funktion
[mm] $\Phi(r)=ln(r)$ [/mm] mit [mm] $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
[/mm]
Also ist dein [mm] $\Phi(r)=ln(\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
[/mm]
Wenn du jetzt den Gradienten bildest, dann erhälst du einen Vektor, wo willst du dann etwas addieren?!?
Du sollst doch jetzt den Gradienten bilden, und zeigen, dass der dann ausschaut wie
[mm] $\frac{1}{r^2}\vec{r}$, [/mm] wobei [mm] $\vec{r}=(x,y,z)^t$.
[/mm]
Weist du, wie der Gradient ausschaut?! Man schreib $grad [mm] \Phi$ [/mm] auch ganz gerne als [mm] $\vec{\nabla} \Phi$
[/mm]
Weist du, was [mm] $\nabla$ [/mm] ist? Wenn ja, dann kannst dus jetzt rechnen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 29.06.2008 | | Autor: | marc62 |
Naja , ich hatte diese Definition des Gradienten aus Wikipedia.
[mm] \operatorname{grad}\,\varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{e}_z [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{\partial\varphi}{ \partial x} \\ \frac{\partial\varphi} { \partial y} \\ \frac{\partial\varphi}{ \partial z} \end{pmatrix} [/mm]
und wie ich das sehe , ist das die Summe der Patiellen Ableitungen, oder nicht ?
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> Naja , ich hatte diese Definition des Gradienten aus
> Wikipedia.
>
> [mm]\operatorname{grad}\,\varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{e}_z[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \frac{\partial\varphi}{ \partial x} \\ \frac{\partial\varphi} { \partial y} \\ \frac{\partial\varphi}{ \partial z} \end{pmatrix}[/mm]
>
> und wie ich das sehe , ist das die Summe der Patiellen
> Ableitungen, oder nicht ?
Hallo,
nein, das ist nicht die Summe der partiellen Ableitungen. Das würde ja keinen Vektor ergeben, der Gradient aber ist ein Vektor, wie Du ja auch selbst schreibst.
Guck Dir doch die Summanden, die Du selbst (und richtig) aufgeschrieben hast, mal richtig an: die i-te partielle Ableitung wird doch gerade mit dem i-ten Einheitsvektor multipliziert. Dann wird addiert. Und was kommt raus: die partiellen Ableitungen, gestapelt in einem Vektor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 29.06.2008 | | Autor: | marc62 |
Ok, so hatte ich das eigentlich auch verstanden .
aber wie komm ich auf
$ [mm] grad\Phi=\bruch{1}{r^2}\cdot{\vec r} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 So 29.06.2008 | | Autor: | Kroni |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
indem du dir die Funktion $\ln(\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ hinschreibst, und das mit $\pmat{\partial/\partial x \\ \partial/\partial y \\ \partial/\partial z}$ multiplizierst.
Dann steht in der ersten Komponente des entstehenden Vektors die skalare Funktion partiell nach x abgeleitet, in der zweiten Komponente die Fkt. partiell nach y abgeleitet usw.
Dann wissen, dass $r^2=x^2+y^2+z^2$ gilt, und dass $\vec{r}=\pmat{x\\y\\z}$ gilt. Also: Ausrechnen führt zum Ergebnis.
LG
Kroni
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