Gradient vs. Linienintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mi 27.06.2007 | | Autor: | setine |
Hallo Zusammen,
Beim lösen einiger Physik Aufgaben bin ich auf folgende 2 Gleichungen gestossen (Es ging um die Gravitation):
[mm] $E_{pot}(r)=-\int_\infty^r{\vec{F_G} \cdot \vec{dr}}$
[/mm]
[mm] $\vec{F_G} [/mm] = [mm] -\vec{\nabla}E_{pot}$
[/mm]
Mir scheint es rein von der Form her so, als ob man bei der 2. Gleichung auf beiden Seiten integrieren kann, um auf die obere zu kommen. Es würde mich interessieren was genau dahinter steckt. z.B Inwiefern ist der Gradient die Umkehrung des Linienintegrals?
Meine Vorkenntnis reicht bis zu Jacobimatrix bei der Differentiation und knapp bis zu den Integralsätzen bei der Integration.
Bin natürlich auch dankbar für (möglichst verständliche ;) weiterführende Links, etc.
Vielen Dank,
Setine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
es gilt der Integralsatz von Stokes:
[mm] \integral_{G}{dw}=\integral_{\partialG}{w},
[/mm]
wobei man noch aufeinige Feinheiten achten muss, die jetzt hier unwichtig sind.
Wenn du [mm] F_{G}=-grad E_{pot} [/mm] in das obere Integral einsetzt hat man:
(die Minuse heben sich auf)
[mm] \integral_{-infty}^{r}{grad E_{pot} dr}
[/mm]
Im Integranden steht, wenn du skalar ausmultiplizierst, gerade das totale Differential von [mm] E_{pot}:dE_{pot}, [/mm] also:
[mm] \integral_{-infty}^{r}{grad E_{pot} dr}
[/mm]
[mm] =\integral_{-infty}^{r}{dE_{pot}}
[/mm]
[mm] =E_{pot}(r) [/mm] nach dem Integralsatz von Stokes.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mi 27.06.2007 | | Autor: | setine |
Hi Hund!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich hatte schon vermutet, dass es etwas mit einem Integralsatz zu tun haben könnte. Nur kenne ich die allgemeine Form, wie sie du beschrieben hast, nicht. Wir hatten nur den Rotationssatz.
Ich werde mal ein bisschen im Wikipedia-Artikel stöbern und falls ich noch konkrete Fragen habe erneut nachfragen ;)
Danke.
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