Gradient eines Elektrischen Fe < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \phi(r)= [/mm] - [mm] \bruch{q}{4*\pi\epsilon_1}* \bruch{1}{2R}+\bruch{q}{4*\pi*\epsilon_2}*(\bruch{1}{r}-\bruch{1}{R})
[/mm]
r= [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
R, q , [mm] \epsilon:1 [/mm] und [mm] \epsilon_2 [/mm] sind Konstanten
Gesucht [mm] -\nabla \phi(r)
[/mm]
auf dem Napla ist noch ein Vektorpfeil abgebildet |
r= [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
R, q , [mm] \epsilon_1 [/mm] und [mm] \epsilon_2 [/mm] sind Konstanten
[mm] \vektor{- \bruch{\partial \phi(r)}{\partial x} \\ - \bruch{\partial \phi(r)}{\partial y} \\ - \bruch{\partial \phi(r)}{\partial z}} [/mm] =
[mm] \vektor{- \bruch{x}{r} \\ - \bruch{y}{r} \\ - \bruch{\z}{r}} [/mm] =
[mm] \- \bruch {1}{\vec r}\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
soweit bin ich gekommen
ich komme nicht auf diese Lösung
[mm] \bruch{q}{4*\pi\epsilon_2}* \bruch{ \vec r}{r^3}
[/mm]
Was muss ich machen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Fr 31.10.2014 | | Autor: | chrisno |
> .... Was muss ich machen ?
>
Zuerst [mm] $\br{1}{r}$ [/mm] richtig ableiten. Das r, also der Wurzelterm, steht im Nenner.
Dann die multiplikative Konstante überleben lassen.
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Jetzt komm ich auf
[mm] \vektor{- \bruch{x}{\wurzel[2]{r^3}} \\ - \bruch{y}{\wurzel[2]{r^3}} \\ - \bruch{z}{\wurzel[2]{r^3}}} \bruch{q}{4*\pi\epsilon_2}* \bruch [/mm] ?
Aber immernoch Falsch ?
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Hallo melissa38,
> Jetzt komm ich auf
> [mm]\vektor{- \bruch{x}{\wurzel[2]{r^3}} \\ - \bruch{y}{\wurzel[2]{r^3}} \\ - \bruch{z}{\wurzel[2]{r^3}}} \bruch{q}{4*\pi\epsilon_2}* \bruch[/mm]
> ?
>
Das ist [mm]\nabla \phi\left(r\right)[/mm]
>
> Aber immernoch Falsch ?
>
Gruss
MathePower
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[mm] \bruch{q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}\cdot{} \bruch{ \vec r}{r^3}
[/mm]
Das steht aber als Lösung drin ?
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Hallo melissa38,
> [mm]\bruch{q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}\cdot{} \bruch{ \vec r}{r^3}[/mm]
>
Das ist ja auch die richtige Lösung.
> Das steht aber als Lösung drin ?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Fr 31.10.2014 | | Autor: | IdeeFix |
Die Funktion Phi hat nur eine Variable nämlich 1/r.
Diese schreibst Du in karthesischen Koordinaten am besten so:
[mm] sqrt(x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^{-1/2}.
[/mm]
Der ganze Therm hat folgende Struktur: C1 + C2(1/r - C3).
Der Nablooperator sieht aus wie ein Vektor. Stell Dir vor den partiellen Ableitungen nach x, y ,z immer noch die Einheitsvektoren x-Dach,..,z-Dach vor.
Jetzt bildest Du die partiellen Ableitungen von [mm] sqrt(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.
[/mm]
Das ergibt für x: [mm] (-1/2)(x^2+y^2+z^2)^{-3/2} [/mm] * 2x
Das Ganze noch für y und z, dazwischen steht ein +.
Jetzt mußt Du ausklammern und die Einheitsvektoren nicht vergessen. Dann hast Du - die Konstanten vergessen wir noch : (x*x-Dach + y*y-Dach + z*z-Dach)ein Vektor im Zähler, also r im Zähler und [mm] r^3 [/mm] im Nenner und noch die Konstante C2 davor.
Das dürfte es gewesen sein.
Also Trick: r in karthesischen Koordinaten richtig hinschreiben, die Ableitungen richtig bilden und wieder alles zusammensetzen.
Das Ganze kannst Du auch direkt in sphärischen Koordinaten machen. Dann kannst Du direkt dPhi/dr bilden.
Sorry ich habe mir noch nicht angeschaut, wie man hier Formeln eingibt.
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Danke für die Ausführliche Antwort.
> Die Funktion Phi hat nur eine Variable nämlich 1/r.
> Diese schreibst Du in karthesischen Koordinaten am besten
> so:
> [mm]sqrt(x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^{-1/2}.[/mm]
>
> Der ganze Therm hat folgende Struktur: C1 + C2(1/r - C3).
>
> Der Nablooperator sieht aus wie ein Vektor. Stell Dir vor
> den partiellen Ableitungen nach x, y ,z immer noch die
> Einheitsvektoren x-Dach,..,z-Dach vor.
>
> Jetzt bildest Du die partiellen Ableitungen von
> [mm]sqrt(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.[/mm]
>
> Das ergibt für x: [mm](-1/2)(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}[/mm] * 2x
>
> Das Ganze noch für y und z, dazwischen steht ein +.
(- [mm] \bruch{x}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}) [/mm] +(- [mm] \bruch{y}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}})+(- \bruch{z}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}})
[/mm]
[mm] \bruch{q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}\cdot{} \bruch [/mm]
>
> Jetzt mußt Du ausklammern und die Einheitsvektoren nicht
> vergessen. Dann hast Du - die Konstanten vergessen wir noch
- [mm] \bruch{1}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}(x *e_1+y*e_2+z*e_3) [/mm]
so ?
> : (x*x-Dach + y*y-Dach + z*z-Dach)ein Vektor im Zähler,
> also r im Zähler und [mm]r^3[/mm] im Nenner und noch die Konstante
> C2 davor.
>
Den Letzen Teil habe ich nicht ganz verstanden mit
[mm] (x*\hat{x}+y*\hat{y}+z*\hat{z}) [/mm] ?
> Das dürfte es gewesen sein.
>
> Also Trick: r in karthesischen Koordinaten richtig
> hinschreiben, die Ableitungen richtig bilden und wieder
> alles zusammensetzen.
>
> Das Ganze kannst Du auch direkt in sphärischen Koordinaten
> machen. Dann kannst Du direkt dPhi/dr bilden.
>
> Sorry ich habe mir noch nicht angeschaut, wie man hier
> Formeln eingibt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Fr 31.10.2014 | | Autor: | chrisno |
> Danke für die Ausführliche Antwort.
>
> > Die Funktion Phi hat nur eine Variable nämlich 1/r.
> > Diese schreibst Du in karthesischen Koordinaten am
> besten
> > so:
> > [mm]sqrt(x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^{-1/2}.[/mm]
> >
> > Der ganze Therm hat folgende Struktur: C1 + C2(1/r - C3).
> >
> > Der Nablooperator sieht aus wie ein Vektor. Stell Dir vor
> > den partiellen Ableitungen nach x, y ,z immer noch die
> > Einheitsvektoren x-Dach,..,z-Dach vor.
> >
> > Jetzt bildest Du die partiellen Ableitungen von
> > [mm]sqrt(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.[/mm]
> >
> > Das ergibt für x: [mm](-1/2)(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}[/mm] * 2x
> >
> > Das Ganze noch für y und z, dazwischen steht ein +.
da wäre schon ein Hinweis auf die Einheitsvektoren hilfreich gewesen,
>
>
Die müssen hier nämlich schon drin stehen, dafür sind ein paar Zweier verloren gegangen
> (- [mm]\bruch{x}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}})[/mm] +(- [mm]\bruch{y}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}})+(- \bruch{z}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}})[/mm]
[mm]\left(\bruch{-2x}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_1} +
\bruch{-2y}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_2}+\bruch{-2z}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_3}\right)\bruch{q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}[/mm]
> >
>
> > Jetzt mußt Du ausklammern und die Einheitsvektoren nicht
> > vergessen. Dann hast Du - die Konstanten vergessen wir noch
>
> - [mm]\bruch{1}{2*(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}(x *e_1+y*e_2+z*e_3)[/mm]
> so ?
ja
>
> > : (x*x-Dach + y*y-Dach + z*z-Dach)ein Vektor im Zähler,
> > also r im Zähler und [mm]r^3[/mm] im Nenner und noch die Konstante
> > C2 davor.
> >
> Den Letzen Teil habe ich nicht ganz verstanden mit
>
> [mm](x*\hat{x}+y*\hat{y}+z*\hat{z})[/mm] ?
Bleib bei Deinen Bezeichnungen [mm] $\vec{e_1}$ [/mm] usw.
[mm]\left(\bruch{-x}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_1} +
\bruch{-y}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_2}+\bruch{-z}{(x^2+y^2+z^2)^\bruch{3}{2}}\vec{e_3}\right)\bruch{q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}[/mm] =
[mm]\left(\bruch{x}{r^3}\vec{e_1} + \bruch{y}{r^3}\vec{e_2}+\bruch{z}{r^3}\vec{e_3}\right)\bruch{-q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}[/mm] =
[mm]\left(x\vec{e_1} + y\vec{e_2}+z\vec{e_3}\right)\bruch{1}{r^3}\bruch{-q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}[/mm] =
[mm]\vec{r}\bruch{1}{r^3}\bruch{-q}{4\cdot{}\pi\epsilon_2}[/mm]
>
> > Das dürfte es gewesen sein.
> >
> > Also Trick: r in karthesischen Koordinaten richtig
> > hinschreiben, die Ableitungen richtig bilden und wieder
> > alles zusammensetzen.
> >
> > Das Ganze kannst Du auch direkt in sphärischen Koordinaten
> > machen. Dann kannst Du direkt dPhi/dr bilden.
> >
> > Sorry ich habe mir noch nicht angeschaut, wie man hier
> > Formeln eingibt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Melissa38 |
Vielen Dank :)
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