Gradient Skalarproduktes < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR^n \rightarrow \IR [/mm] x [mm] \rightarrow ||Ax-b||_{2}^2 [/mm] |
Rauskommen soll das Normalgleichungssystem. Also [mm] ||Ax-b||_{2}^2 =\summe_{i=1}^{n}((\summe_{j=1}^{n}a_{ij}*x_{j})-b_{i}) [/mm] Wenn ich jetzt den Gradienten drauf los lasse muss ich ja alle partiellen ableitungen [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{i}} [/mm] bilden. Nur irgendwie sehe ich nicht was da passiert.
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben. Ich habe es schon mit auseinanderschreiben versucht aber irgendwie steig ich da nicht hinter
Danke schön im Voraus
|
|
| |
|
Hallo!
Also, mit Ausschreiben kommt man da eigentlich sehr schnell weiter:
[mm] ||Ax-b||_{2}^2 =\red{\summe_{i=1}^{n}}((\blue{\summe_{j=1}^{n}}a_{ij}\cdot{}x_{j})-b_{i})
[/mm]
für n=2 ergibt das doch
[mm] a_{\red{1}\blue{1}}x_{\blue{1}} +a_{\red{1}\blue{2}}x_{\blue{2}} -b_{\red{2}} +a_{\red{2}\blue{1}}x_{\blue{1} }+a_{\red{2}\blue{2}}x_{\blue{2}} -b_\red{2}
[/mm]
Wenn du dieses Ding z.B. nach [mm] x_1 [/mm] ableitest, fallen viele Terme weg, um genau zu sein, es bleiben nur zwei übrig, die jeweils nur aus einem einzelnen a bestehen.
Diesen Ausdruck willst du nach den Komponenten von x ableiten. Weil i und j schon benutzt werden, nehmen wir k: [mm] \frac{\partial}{\partial x_k} [/mm]
Dann ist
[mm] \frac{\partial}{\partial x_k}\summe_{i=1}^{n}((\summe_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot{}x_{j})-b_{i})
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}(\frac{\partial}{\partial x_k}(\summe_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot{}x_{j})-\frac{\partial}{\partial x_k}b_{i})
[/mm]
Weil die b's konstant sind, gilt immer [mm] \frac{\partial}{\partial x_k}b_{i}=0
[/mm]
Gleiches gilt für die a's auch: $(a*x)'=a'*x+a*x'= a*x'$ , aber das habe ich mal nicht eingebaut. Es bleibt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}((\summe_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot{}\frac{\partial }{\partial x_k}x_{j}))
[/mm]
Frage: Was ist mit [mm] \frac{\partial }{\partial x_k}x_{j} [/mm] ? für welche j,k nimmt das welche Werte an?
|
|
|
|
