Gradient, Laplace, Divergenz < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Di 12.12.2006 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | Die allgemeine Diffusionsgleichung ist [mm] $\partial_t u=div(g\nabla [/mm] u)$. Hierbei beschreibt eine Lösung [mm] u:\Omega\times\IR_0^+\to\IR [/mm] der Differentialgleichung den kompletten Diffusionsprozess. Zeigen Sie:
(a) homogener Fall: [mm] $div(g\nabla u)=g\Delta [/mm] u$
(b) linearer Fall: [mm] $div(g\nabla u)=g\Delta u+<\nabla [/mm] g, [mm] \nabla [/mm] u>$
Tipp: Überlegen Sie sich, wie der Definitions- und Wertebereich von g im Einzelnen aussieht. |
Hallo zusammen!
Ich habe gerade erstmal die einzelnen "Definitionen" nachgeschaut:
[mm] $\nabla f(x,y)=\vektor{f_x\\f_y}$
[/mm]
[mm] $\Delta f(x,y)=\nabla^2 f(x,y)=f_{xx}+f_{yy}$
[/mm]
$div [mm] j=\nabla j=\partial_x j_1+\partial_y j_2$ [/mm] für einen Vektor [mm] j=\vektor{j_1\\j_2}
[/mm]
Warum gibt es denn zwei Bezeichnungen für die Divergenz? Einmal div und einmal [mm] \nabla [/mm] - das scheint ja dasselbe zu sein!?
Dann habe ich das einfach eingesetzt und umgeformt:
[mm] $div(g\nabla u)=div(g*\vektor{u_x\\u_y})=div(\vektor{g*u_x\\g*u_y})=\bruch{\partial g*u_x}{\partial x}+\bruch{\partial g*u_y}{\partial y}=\bruch{g*\partial u_x}{\partial x}+\bruch{g*\partial u_y}{\partial y}=g*\bruch{\partial^2u}{\partial^2x}+g*\bruch{\partial^2u}{\partial^2y}=g(u_{xx}+u_{yy})=g\Delta [/mm] u$
Stimmt das so oder habe ich da eine Umformung gemacht, die man nicht machen darf?
Und für b) muss ich doch dann quasi nur noch zeigen, dass [mm] $<\nabla [/mm] g, [mm] \nabla [/mm] u>=0$ gilt, oder wie? Aber wenn das das Standardskalarprodukt ist (das hoffe ich einfach mal  ), dann gilt doch:
[mm] $<\nabla [/mm] g, [mm] \nabla u>=<0,\nabla [/mm] u>=0$ oder?
(g ist wohl eine Konstante, so wie ich das verstanden habe...)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
| |
|
Hallo Basti,
g ist leider keine Konstante (deswegen ist in der Angabe von Definitions- und Wertebereich die Rede).
Aber:
[mm] \frac{\partial}{\partial x}g{\cdot}u_x [/mm] ist doch [mm] g_x{\cdot}u_x+g{\cdot}u_{xx} [/mm] (Produktregel)
Wenn du die Produktregel also in beiden Termen der Divergenz anwendest, dann kommt am Ende bei b) das Richtige raus.
b) ist der allgemeine Fall, wo das Skalarprodukt nicht Null ist. In der a) ist es Null. Warum das so ist, hat mit der Homogenität zu tun, aber da muss ich passen. Hier muss jedenfalls g auch nicht konstant sein. Es reicht, wie du sagst, dass die Gradienten von g und u zueinander orthogonal sind.
[mm] \nabla{u} [/mm] ist grad u, wenn u eine skalarwertige Funktion ist,
[mm] \nabla{v} [/mm] ist div v, wenn v eine vektorwertige Funktion ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Di 12.12.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hugo! 
Wäre ja sonst auch zu einfach gewesen.
> g ist leider keine Konstante (deswegen ist in der Angabe
> von Definitions- und Wertebereich die Rede).
>
> Aber:
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}g{\cdot}u_x[/mm] ist doch
> [mm]g_x{\cdot}u_x+g{\cdot}u_{xx}[/mm] (Produktregel)
>
> Wenn du die Produktregel also in beiden Termen der
> Divergenz anwendest, dann kommt am Ende bei b) das Richtige
> raus.
>
> b) ist der allgemeine Fall, wo das Skalarprodukt nicht Null
> ist. In der a) ist es Null. Warum das so ist, hat mit der
> Homogenität zu tun, aber da muss ich passen. Hier muss
> jedenfalls g auch nicht konstant sein. Es reicht, wie du
> sagst, dass die Gradienten von g und u zueinander
> orthogonal sind.
Die b) hab' ich hingekriegt, war ja quasi nicht wirklich was zu machen. Und für die a) hab' ich mal nachgeschaut: wir hatten die Gleichung als homogen definiert, wenn g=const. gilt. Damit stimmt die a) ja dann doch.
Allerdings kann ich mit dem Definitions- und Wertebereich immer noch nicht so viel anfangen. Oder ist das halt einfach, dass g für Teil a) konstant ist und für Teil b) halt nicht? Und nach unserer Definition von nichtlinear: "hängt g selbst von u ab, so spricht man von nichtlinearer Diffusivität" - was wäre dann der Definitionsbereich bei b)? Ich würde sagen, ganz [mm] \IR, [/mm] aber es darf dann halt nicht von u abhängen... Und der Wertebereich? Oder sollte das alles nur ein Tipp sein, um die Aufgabe zu lösen und ich hab's ja jetzt quasi so?
> [mm]\nabla{u}[/mm] ist grad u, wenn u eine skalarwertige Funktion
> ist,
> [mm]\nabla{v}[/mm] ist div v, wenn v eine vektorwertige Funktion
> ist.
Ok - leider weiß ich gerade irgendwie nicht, was eine skalarwertige und was eine vektorwertige Funktion ist. Könntest du mir das gerade noch sagen? Ist das sowas wie: [mm] f=\vektor{f_1\\f_2\\\vdots\\f_n}? [/mm] Oder wie nennt man das?
Viele Grüße und vielen Dank für deine schnelle Antwort
Bastiane
|
|
|
| |
|
Naja, das Nabla ist eine spezielle Schreibweise
Es gibt ja div, grad, und um das ganze zu vervollständigen, rot.
Das sind drei unterschiedliche Dinge, die man aber alle durch [mm] $\vec\nabla=\vektor{\partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z}$ [/mm] ausdrücken kann.
Dann wird auf div:
[mm] $div(\vec u)=\vec\nabla *\vec u=\vektor{\partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z}*\vektor{u_x\\u_y\\u_z}=\partial_xu_x+\partial_yu_y+\partial_zu_z$ [/mm]
div wirkt auf eine vektorwertige Funktion, d.h. sie liefert dir Vektoren, und div liefert eine Zahl.
und aus grad:
[mm] $grad(u)=\vec\nabla *u=\vektor{\partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z}u=\vektor{\partial_xu \\ \partial_yu \\ \partial_zu}$
[/mm]
Hier gehts um skalare Funktionen, die liefern dir also eine Zahl, und grad liefert nen Vektor
Dann gibt es noch die Rotation rot, die aus der vektorwertigen Funktion wieder einen Vektor macht.
[mm] $\vec\nabla \times \vec [/mm] u$
Also: das [mm] $\vec\nabla$ [/mm] erleichtert die Schreibarbeit, und ob div oder grad ergibt sich aus dem Kontext.
Ach ja, es gibt dann sowas nettes wie
[mm] $(\vec [/mm] a [mm] \vec\nabla)\vec b=a_x\partial_xb_x+a_y\partial_yb_y+a_z\partial_zb_z$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Basti,
eine Funktion ist skalarwertig, wenn die Funktionswerte Zahlen sind, und vektorwertig, wenn die Funktionswerte Vektoren sind.
z.B.
[mm] \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
[mm] $(x,y)\mapsto{x^2+y^2}$
[/mm]
ist skalarwertig,
aber
[mm] \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
[mm] $(x,y)\mapsto(-y,x)$
[/mm]
ist vektorwertig.
Hugo
|
|
|
|
