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Hallo,
ich soll bestimmen für welche Werte der Gradient von f(x,y) =0 ist.
Ich habe bereits die ersten Ableitungen:
nach x: [mm] 2x(1-2x^2-2y^2)=0
[/mm]
nach y: [mm] -2y(1+2x^2+2y^2)=0
[/mm]
Ich weiß ja, dass x und x jeweils =0 sein müssten, aber das sind doch nicht die einzigen Ergebnisse.
[mm] 1-2x^2-2y^2=0 [/mm] für [mm] -2x^2-2y^2=-1 [/mm] und
[mm] 1+2x^2+2y^2=0 [/mm] für [mm] 2x^2+2y^2=-1
[/mm]
aber wie bekomme ich nun noch mehr Ergebnisse?
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> Hallo,
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Hey!
> ich soll bestimmen für welche Werte der Gradient von f(x,y)
> =0 ist.
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> Ich habe bereits die ersten Ableitungen:
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> nach x: [mm]2x(1-2x^2-2y^2)=0[/mm]
> nach y: [mm]-2y(1+2x^2+2y^2)=0[/mm]
Da ich die Ursprungsfunktion nicht kenne, kann ich das nicht überprüfen.
Sei jetzt
$a:=2x$
[mm] $b:=1-2x^2-2y^2$
[/mm]
$c:=-2y$
[mm] $d:=1+2x^2+2y^2$
[/mm]
Dann hat dein Gradient folgende Form:
[mm] $(a\cdot [/mm] b , c [mm] \cdot [/mm] d)$
Nun gehe doch mal alle Möglichkeiten durch, sodass der Gradient Null wird:
$a=0 [mm] \wedge [/mm] c=0$
$a=0 [mm] \wedge [/mm] d=0$
$b=0 [mm] \wedge [/mm] c=0$
$b=0 [mm] \wedge [/mm] d=0$
Damit kannst du dann deine x und y konkret ausrechnen.
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> Ich weiß ja, dass x und x jeweils =0 sein müssten, aber das
> sind doch nicht die einzigen Ergebnisse.
>
> [mm]1-2x^2-2y^2=0[/mm] für [mm]-2x^2-2y^2=-1[/mm] und
> [mm]1+2x^2+2y^2=0[/mm] für [mm]2x^2+2y^2=-1[/mm]
>
> aber wie bekomme ich nun noch mehr Ergebnisse?
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Gruß Patrick
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Ich verstehe diese Vorgehensweise leider nicht. Gerade diese langen Ausdrücke sind ja mein Problem, inwiefern löst sich das nun auf?
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Hallo Englein,
nun, du kannst das doch direkt angehen.
Mal angenommen, deine partiellen Ableitungen stimmen.
Dann muss nun gelten:
(I) [mm] $2x\cdot{}(1-2x^2-2y^2)=0$
[/mm]
(II) [mm] $-2y\cdot{}(1+2x^2+2y^2)=0$
[/mm]
Nun schaue mal scharf auf den 2.Ausdruck. In der Klammer stehen zwei Quadrate und +1, das ist also immer >0
Dh., dass (II) nur dann =0 ist, wenn $y=0$ ist
Du hast also $y=0$ als "Generalbedingung", alle stationären Punkte werden die y-Koordinate 0 haben müssen ...
Damit gehe in (I)
Wann ist [mm] $2x\cdot{}(1-2x^2-2\cdot{}0^2)=2x\cdot{}(1-2x^2)=0$
[/mm]
Das kriegst du hin ...
LG
schachuzipus
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