Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Gradienten des Skalarfeldes f(r)= [mm] \bruch{exp(-r)}{r} [/mm] |
Ich wollte fragen ob mein Ergebnis so richtig ist.
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] (da diese Aufgabe in einem physikalischen Zusammenhang gestellt wurde und [mm] \vec{r} [/mm] dort normalerweise Ortsvektoren sind, bin ich der Meinung, dass der Betrag gemeint ist, obwohl nichts genaueres angegeben ist)
[mm] f(r)=exp(-\wurzel{x^2+y^2+z^2})*(x^2+y^2+z^2)^{-0.5}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(r)}{\partial x} =-0.5*(x^2+y^2+z^2)^{-0.5}*2x*exp(-\wurzel{x^2+y^2+z^2})*(x^2+y^2+z^2)^{-0.5} [/mm] - [mm] 0.5*(x^2+y^2+z^2)^{-1.5}*2x*exp(-\wurzel{x^2+y^2+z^2})
[/mm]
= [mm] x*exp(-\wurzel{x^2+y^2+z^2})*[-(x^2+y^2+z^2)^{-1}-(x^2+y^2+z^2)^{-1.5}]
[/mm]
= [mm] x*exp(-r)*[-r^{-2}-r^{-3}]
[/mm]
Analog für die Ableitungen nach y und z
und somit grad(f)= [mm] \bruch{-exp(-r)}{r^2+r^3}*\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Das müsste so korrekt sein, oder?
Herzlichen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Di 01.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Ableitung ist noch richtig, aber [mm] 1/a+1/b\not=1/(a+b)
[/mm]
d.h. deine Zusammengassung ist falsch!
Gruss leduart
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Oh ja! Danke!
Dann habe ich für die Ableitung nach x:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} (exp(-\wurzel{+x^2+y^2+z^2})*(+x^2+y^2+z^2)^{-1/2})
[/mm]
= [mm] \bruch{-exp(-\wurzel{+x^2+y^2+z^2})*\wurzel{+x^2+y^2+z^2}*x -exp(\wurzel{+x^2+y^2+z^2})*x }{\wurzel{+x^2+y^2+z^2}^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{x*exp(-\wurzel{+x^2+y^2+z^2})* (-\wurzel{+x^2+y^2+z^2} - 1)}{\wurzel{+x^2+y^2+z^2}^3}
[/mm]
= [mm] x*\bruch{exp(-r)*(-r-1)}{r^3}
[/mm]
Und insgesamt dann mit de analogen Ableitungen nach y und z:
grad(f)= [mm] \bruch{-exp(-r)*(r-1)}{r^3} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Herzlichen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Mi 02.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Oh ja! Danke!
>
> Dann habe ich für die Ableitung nach x:
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x} (exp(-\wurzel{+x^2+y^2+z^2})*(+x^2+y^2+z^2)^{-1/2})[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{-exp(-\wurzel{+x^2+y^2+z^2})*\wurzel{+x^2+y^2+z^2}*x -exp(\wurzel{+x^2+y^2+z^2})*x }{\wurzel{+x^2+y^2+z^2}^3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{x*exp(-\wurzel{+x^2+y^2+z^2})* (-\wurzel{+x^2+y^2+z^2} - 1)}{\wurzel{+x^2+y^2+z^2}^3}[/mm]
>
> = [mm]x*\bruch{exp(-r)*(-r-1)}{r^3}[/mm]
>
> Und insgesamt dann mit de analogen Ableitungen nach y und
> z:
>
> grad(f)= [mm]\bruch{-exp(-r)*(r-1)}{r^3}[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
Jetzt stimmts
Edit: ich war zu schlampig: an einem Vorzeichen solltest Du noch basteln
FRED
>
> Herzlichen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mi 02.07.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich wage eine abweichende Meinung: ein Vorzeichen stimmt noch nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:48 Mi 02.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich wage eine abweichende Meinung: ein Vorzeichen stimmt
> noch nicht.
Hallo chrisno,
Du hast recht !
Gruß FRED
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Ja! Stimmt!
Es müsste grad(f)= [mm] \bruch{-exp(-r)*(r+1)}{r^3} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] sein, richtig?
Vielen Dank für die ganze Hilfe!! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mi 02.07.2014 | | Autor: | chrisno |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Toll! Herzlichen Dank nochmal! :)
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