Goldaufgabe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 So 28.06.2009 | | Autor: | Franzie |
| Aufgabe | Ein Vater verteilt sein (aus Goldstücken bestehendes) Vermögen in folgender Weise an seine Söhne:
Der älteste Sohn erhält ein Goldstück und vom Rest des Geldes ein Siebtel. Der zweite Sohn erhält (vom verbliebenen Geld) zwei Goldstücke und vom Rest wiederum ein Siebtel. Der Vater fährt im beschriebenen Sinne fort (i-ter Sohn erhält i Goldstücke und vom Rest ein Siebtel) bis auch der jüngste Sohn etwas erhalten hatte, bei dem kein Rest übrig blieb.
Wie groß war das Vermögen des Vaters, wie viele Söhne hatte er und wie viel Goldstücke bekam jeder Sohn? |
Hallo ihr Lieben!
Ich hab mir erstmal grob überlegt, wie viel die Söhne allgemein bekommen:
v.....Vermögen
n.....Anzahl der Söhne
und n muss mindestens 2 sein, da es einen ältesten und einen jüngsten Sohn gibt
Sohn 1: [mm] g_{1}=1+1/7(v-1)
[/mm]
Sohn [mm] 2:g_{2}=2+1/7(v-g_{1}-2)
[/mm]
Sohn 3: [mm] g_{3}=3+1/7(v-g_{2}-3) [/mm] usw.
...
n-ter [mm] Sohn:g_{n}=n+1/7(v-g_{n-1}-n)
[/mm]
Nur wie komm ich an dieser Stelle weiter...hatte noch an Kongruenzen gedacht, weil ja immer etwas ohne Rest herauskommen soll.
Sohn 1: [mm] g_{1}=1+1/7(v-1) \equiv [/mm] 0 (mod n)
Sohn [mm] 2:g_{2}=2+1/7(v-g_{1}-2) \equiv [/mm] 0 (mod (n-1))
Sohn 3: [mm] g_{3}=3+1/7(v-g_{2}-3) \equiv [/mm] 0 (mod (n-2))
...
n-ter [mm] Sohn:g_{n}=n+1/7(v-g_{n-1}-n) \equiv [/mm] 0 (mod (n-(n-1))
Aber ich hab jetzt keinen Ansatz, wie ich da weiter machen kann, um auf eine Lösung zu kommen?
Habt ihr einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 So 28.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein Vater verteilt sein (aus Goldstücken bestehendes)
> Vermögen in folgender Weise an seine Söhne:
> Der älteste Sohn erhält ein Goldstück und vom Rest des
> Geldes ein Siebtel. Der zweite Sohn erhält (vom
> verbliebenen Geld) zwei Goldstücke und vom Rest wiederum
> ein Siebtel. Der Vater fährt im beschriebenen Sinne fort
> (i-ter Sohn erhält i Goldstücke und vom Rest ein Siebtel)
> bis auch der jüngste Sohn etwas erhalten hatte, bei dem
> kein Rest übrig blieb.
>
> Wie groß war das Vermögen des Vaters, wie viele Söhne hatte
> er und wie viel Goldstücke bekam jeder Sohn?
> Hallo ihr Lieben!
>
> Ich hab mir erstmal grob überlegt, wie viel die Söhne
> allgemein bekommen:
> v.....Vermögen
> n.....Anzahl der Söhne
> und n muss mindestens 2 sein, da es einen ältesten und
> einen jüngsten Sohn gibt
> Sohn 1: [mm]g_{1}=1+1/7(v-1)[/mm]
> Sohn [mm]2:g_{2}=2+1/7(v-g_{1}-2)[/mm]
> Sohn 3: [mm]g_{3}=3+1/7(v-g_{2}-3)[/mm] usw.
> ...
> n-ter [mm]Sohn:g_{n}=n+1/7(v-g_{n-1}-n)[/mm]
>
> Nur wie komm ich an dieser Stelle weiter...hatte noch an
> Kongruenzen gedacht, weil ja immer etwas ohne Rest
> herauskommen soll.
> Sohn 1: [mm]g_{1}=1+1/7(v-1) \equiv[/mm] 0 (mod n)
> Sohn [mm]2:g_{2}=2+1/7(v-g_{1}-2) \equiv[/mm] 0 (mod (n-1))
> Sohn 3: [mm]g_{3}=3+1/7(v-g_{2}-3) \equiv[/mm] 0 (mod (n-2))
> ...
> n-ter [mm]Sohn:g_{n}=n+1/7(v-g_{n-1}-n) \equiv[/mm] 0 (mod
> (n-(n-1))
>
> Aber ich hab jetzt keinen Ansatz, wie ich da weiter machen
> kann, um auf eine Lösung zu kommen?
> Habt ihr einen Tipp für mich?
Hallo,
nach jedem Sohn (der außer einer bestimmten Anzahl noch 1/7 des Restes erhält) bleiben 6/7 des Restes für die Nachfolger übrig. Wenn beim letzten Sohn (Sohn Nr. n) nichst mehr übrig bleibt, bekommt dieser also GENAU n Godtücke ohne Rest. Das sind 6/7 dessen, was der vorletzte Sohn nach Erhalt seiner (n-1) Goldstücke noch als Rest übrig hatte (bevor er noch 1/7 dieses Rests nahm).
Du musst also "von hinten" aufdröseln, was jeder einzelne bekam.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 So 28.06.2009 | | Autor: | Franzie |
Ah okay. Also das mit dem von hinten auflösen macht Sinn für mich, auch dass der letzte Sohn n Goldstücke bekommt.
Mich hat jetzt nur die wörtliche Beschreibung durcheinander gebracht, was denn der vorletzte dann bekommt. Kannst du das vielleicht nochmal erklären oder eventuell mathematisch aufschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 So 28.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
Lies einfach abakus Text langsam genug durch, er hat genau den vorletzten Son beschrieben, jetzt versuch noch einen also den drittletzten zu beschreiben. dann solltest du hinkommen.
So Raetsel loesten die schon vor mehr als 2000 Jahren, also versuchs mal selbst.
gruss leduart
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