Globale Extrema bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Sa 18.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | Die auf dem abgeschlossenen Intervall [0,3] durch
f(x)= 2x wenn x [mm] \in [/mm] [0,1],
[mm] 3(x-2)^4-1 [/mm] wenn x [mm] \in [/mm] [1,3],
definierte reelle Funktion f ist stetig; dies dürfen Sie benutzen. Nach einem Satz aus der Vorlesung nimmt sie auf ihrer Definitionsmenge [0,3] darum jeweils das globale Maxiumum und globale Minimum an. Bestimmen Sie jeweils alle globalen Maximumstellen und alle globalen Minimumstellen und geben Sie das globale Maximum und das globale Minimum an! |
Hallo,
also ich muss doch hier erstmal die kritischen Punkte betrachten, also z.B. die Nullstellen bestimmen, nicht wahr? Dann die erste Ableitung gleich Null setzen und die Intervalle betrachten.
Aber ich weiß nicht, wie ich das alles mit dieser obigen Funktion machen soll. Bis jetzt hatte ich nur eine ganz "normale", einzelne Funktion gelöst, aber nicht so eine "doppelte". Kann mir bitte jemand helfen? Vielen Dank schonmal :)
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> Die auf dem abgeschlossenen Intervall [0,3] durch
>
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> f(x)= 2x wenn x [mm]\in[/mm] [0,1],
> [mm]3(x-2)^4-1[/mm] wenn x [mm]\in[/mm] [1,3],
>
> definierte reelle Funktion f ist stetig; dies dürfen Sie
> benutzen. Nach einem Satz aus der Vorlesung nimmt sie auf
> ihrer Definitionsmenge [0,3] darum jeweils das globale
> Maxiumum und globale Minimum an. Bestimmen Sie jeweils alle
> globalen Maximumstellen und alle globalen Minimumstellen
> und geben Sie das globale Maximum und das globale Minimum
> an!
> Hallo,
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> also ich muss doch hier erstmal die kritischen Punkte
> betrachten, also z.B. die Nullstellen bestimmen, nicht
NST brauchst du nicht, du sollst doch nur Extrema bestimmen, oder?
> wahr? Dann die erste Ableitung gleich Null setzen und die
> Intervalle betrachten.
Wäre gut ;)
>
> Aber ich weiß nicht, wie ich das alles mit dieser obigen
> Funktion machen soll. Bis jetzt hatte ich nur eine ganz
> "normale", einzelne Funktion gelöst, aber nicht so eine
> "doppelte". Kann mir bitte jemand helfen? Vielen Dank
> schonmal :)
Behandel sie einfach getrennt. Das einzig neue bei dieser Aufgabe ist, dass du bei abschnittsweise definierten Funktionen auch den Rand betrachten musst. Also z.B. ist ja $f(x)$ im Bereich [0,1] eine lineare Funktion mit der Gleichung $2x$. Da brauch man jetzt keine Extrema bestimmen. Sie wird wohl bei $f(0)$ ihren kleinsten und bei $f(1)$ ihren größten Wert annehmen. Damit bist du für diese Funktion fertig.
Was ist jetzt aber mit dem Abschnitt [1,3]? Hierfür hast du eine andere Funktion gegeben. Bei der weißt du natürlich nicht, ob die Werte an den Rändern, also $f(1)$ und $f(3)$ größer bzw. kleiner sind als Werte dazwischen. Daher musst du hier sinnvollerweise mittels erster Ableitung die Extrema bestimmen. Natürlich interessieren nur die Stellen, die im betrachteten Intervall liegen. Dich interessiert aber hierfür überhaupt nicht die andere Funktion! Du betrachtest ja im Moment nur den Bereich [1,3] und hier gilt nur eine Funktionsvorschrift und nur die leitest du wie bisher ab. Hast du dann Minima/Maxima gefunden, vergleiche sie mit den Randwerten $f(1)$ und $f(3)$ sowie mit den Extrema der anderen Funktion im Bereich [0,1]. Daraus kannst du dann das globale Minimum und Maximum bestimmen.
Weiß nicht genau was in der Aufgabenstellung mit "zunächst alle globalen Maximumstellen und dann die globale Maximumstelle " gemeint ist, aber eigentlich hast du nur eine Funktion gegeben und die nimmt im Bereich nunmal nur EIN Maximum und EIN Minimum an. Hast du dich vllt verschrieben? Also alle LOKALEN Maxima und Minima kannst du bestimmen. Aber wenn du dir beide einmal plottest, siehst du direkt, dass das globale Minimum nur bei der Funktion 4. Grades liegen kann, nämlich als Tiefpunkt. Ich korrigiere: Die Funktion hat hier tatsächlich zwei Maximalstellen, die Fragestellung ist also von mir aus so korrekt ;) Du findest eine absolute Minimalstelle und zwei Maximalstellen. Da du für die lineare Funktion direkt weißt, dass diese $f(1)=2$ sein muss, wirst du diese auch bei der Funktion 4. Grades finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 So 19.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
Hallo,
danke für die Antwort :) Ich glaube, dass ich da etwas verwechselt hab, wenn ich z.B. eine Funktion mit Betragsstriche hätte, dann müsste ich ja die linke und die rechte Seite überprüfen und die Intervalle aufspalten, dann müsste ich doch erstmal die Nullstellen berechnen?
Und zu dieser Aufgabe, gut, ich hab jetzt für die lineare Funktion:
f(0)=0 und f(1)=2
Bei der nächsten Funktion habe ich so einige Probleme bei der Nullstelenberechnung:
f(x)= [mm] 3*(x-2)^4-1
[/mm]
f'(x)= [mm] 12*(x-2)^3
[/mm]
[mm] 12*(x-2)^3=0
[/mm]
[mm] 12((x-2)^2*(x-2))=0
[/mm]
[mm] 12((x^2-4x+4)*(x-2))=0
[/mm]
[mm] 12(x^3-2x^2-4x^2+8x+4x-8)=0
[/mm]
[mm] 12x^3-24x^2-48x^2+96x+48x-96=0
[/mm]
[mm] 12x^3-72x^2+144x-96=0
[/mm]
[mm] x(12x^2-72x+144-96/x)=0
[/mm]
x=0
[mm] 12x^2-72x+144-96/x=0 [/mm] |:12
[mm] x^2-6x+12-96/12x=0
[/mm]
[mm] x^2-6x+12-8/1x=0
[/mm]
[mm] x^2-6x+12-8/x=0
[/mm]
Und wie gehts weiter? :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 So 19.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bilmem,
Die erste Ableitung hast Du richtig berechnet. Ausmultiplizieren brauchst Du hier nicht, da ein Produkt, wie Du es auf der linken Seite der Gleichung stehen hast, ganz sicher Null wird, wenn einer der Terme Null ist. Die 12 ist es sicherlich nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 So 19.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
Meinst du das so:
[mm] 12(x-2)^3=0
[/mm]
Die 12 fällt weg und dann bleibt x-2=0 übrig und dementsprechend ist die Nullstelle x=2 ?
Das ist mir super peinlich, aber macht man das immer so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 So 19.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Meinst du das so:
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> [mm]12(x-2)^3=0[/mm]
>
> Die 12 fällt weg und dann bleibt x-2=0 übrig und
> dementsprechend ist die Nullstelle x=2 ?
Ja
>
> Das ist mir super peinlich, aber macht man das immer so?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 19.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
Jetzt habe ich die Nullstellen berechnet und habe folgende Punkte in die Funktion eingesetzt:
x=0, x=1 in die erste Funktion:
f(0)= 0
f(1)=2
x=2, x=3 in die zweite Funktion:
f(2)= -1
f(3)= 2
Habe ich jetzt zwei globale Maxima? Und ein globales Minimum in f(2)? Oder muss ich noch die Punkte x=0 und x=1 in die zweite Funktion einsetzen? Ich bin leicht verwirrt :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 So 19.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bilmem,
Deine zweite Funktion ist doch erst für x-Werte zwischen 1 und 3 definiert. Für die zusammengesetzte Funktion hast Du demzufolge ein globales Minimum bei (2/-1) und es gibt zwei Maxima, nämlich bei (1/2) und (3/2).
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 19.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
Okay, also muss man die Funktionen immer einzelnd betrachten ?
Ich hab noch 'ne weitere Frage, undzwar muss man doch bei solchen Aufgaben 1. Stellen an denen die Funktion nicht differenzierbar ist 2. f'(x)=0 und 3. die Intervallgrenzen betrachten. Ich habe aber nicht überprüft, ob die Funktion differenzierbar ist, wie mache ich das? Mit dem Differenzenquotienten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Okay, also muss man die Funktionen immer einzelnd
> betrachten ?
Ja
>
> Ich hab noch 'ne weitere Frage, undzwar muss man doch bei
> solchen Aufgaben 1. Stellen an denen die Funktion nicht
> differenzierbar ist
Ja, den Funktionswert solltest du dort herausfinden.
> 2. f'(x)=0
Das ist ja gerade die Notwendige Bedinung für Extremstellen. Prüfe auch noch die hinreichende Bedindung. Die y-Koordinate ist dann aber relevant für die globalen/lokalen Extrema.
> und 3. die Intervallgrenzen
Wenn du damit die "Schnittstellen" der Funktion meinst, also die Stellen, an denen sich die Funktiosnvorschrift ändert, ja.
> betrachten. Ich habe aber nicht überprüft, ob die
> Funktion differenzierbar ist, wie mache ich das? Mit dem
> Differenzenquotienten?
Ja, und zwar müssen der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] übereinstimmen, es muss also gelten:
[mm] \lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0}=}{h}\ne\infty
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 19.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
Was ist hier mir [mm] x_0 [/mm] gemeint? Weil in der Aufgabenstellung ist so ein Punkt ja gar nicht gegeben. Was muss ich dann einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Was ist hier mir [mm]x_0[/mm] gemeint? Weil in der Aufgabenstellung
> ist so ein Punkt ja gar nicht gegeben. Was muss ich dann
> einsetzen?
[mm] x_{0} [/mm] ist die zu untersuchende Stelle.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 19.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
[mm] x_0 [/mm] ist doch meistens immer gegeben, sodass man den Punkt in die Funktion einsetzen kann und überprüfen kann, ob man links und rechts den gleichen Grenzwert herausbekommt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]x_0[/mm] ist doch meistens immer gegeben, sodass man den Punkt
> in die Funktion einsetzen kann und überprüfen kann, ob
> man links und rechts den gleichen Grenzwert herausbekommt?
So ist es. Bei Stückweise definierten Funktionen musst du an den Nahtstellel diewe Untersuchung machen..
Das einfachste Beispiel dafür ist die Betragsfunktion.
[mm]|x|=\begin{cases} x, & \mbox{fuer } x\geq0 \\
-x, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}
[/mm]
Diese ist an [mm] x_{0}=0 [/mm] nicht differenzierbar, aber stetig.
Es gilt:
[mm] \lim_{h\to0}|0-h|=0=\lim_{h\to0}|0+h|
[/mm]
Aber:
[mm] \lim_{h\to0^{+}}\frac{|0+h|-|0|}{h}=1\ne-1=\lim_{h\to0^{-}}\frac{|0+h|-|0|}{h}
[/mm]
Marius
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