Globale Extrema bei f(x,y) < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x,y) [mm] =\bruch{1}{3}x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2}+y^{2}-20x-10y
[/mm]
Bestimmen Sie die lokalen Minima oder Maxima.
Sind die gefundenen lokalen Extremstellen auch globale Extremstellen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es ist eigentlich ganz einfach hier das lokale Minimum zu bestimmen. Ich muss die partiellen Ableitungen = 0 setzen und dann gucken, ob der stationäre Punkt auch wirklich ein lokales Extremum ist.
Bei (4;5) befindet sich ein lokales Minimum.
WIE untersuche ich jetzt, ob dieses lokale Minimum auch global ist?
Mein Dozent hat hier folgendes berechnet:
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] f(x,0) und erhält dann [mm] -\infty
[/mm]
Ich verstehe nicht, warum er hier y = 0 setzt? Gibt es eine allgemein geltende Regel, die ich bei der Kontrolle auf globale Extreme bei Funktionen mit zwei Variablen anwenden kann?
Vielen Dank für eure Antworten!
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> f(x,y) [mm]=\bruch{1}{3}x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2}+y^{2}-20x-10y[/mm]
> Bestimmen Sie die lokalen Minima oder Maxima.
> Sind die gefundenen lokalen Extremstellen auch globale
> Extremstellen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Es ist eigentlich ganz einfach hier das lokale Minimum zu
> bestimmen. Ich muss die partiellen Ableitungen = 0 setzen
> und dann gucken, ob der stationäre Punkt auch wirklich ein
> lokales Extremum ist.
>
> Bei (4;5) befindet sich ein lokales Minimum.
>
> WIE untersuche ich jetzt, ob dieses lokale Minimum auch
> global ist?
>
> Mein Dozent hat hier folgendes berechnet:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}[/mm] f(x,0) und erhält dann
> [mm]-\infty[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, warum er hier y = 0 setzt? Gibt es eine
> allgemein geltende Regel, die ich bei der Kontrolle auf
> globale Extreme bei Funktionen mit zwei Variablen anwenden
> kann?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Man schaut, was zu den Rändern hin, also in Richtung [mm] \pm\infty [/mm] für beide Variablen passieren kann.
Die Frage ist ja, ob es dort Funktionswerte gibt, die kleiner als die and den lokalen Minima sind.
Dein Dozent hat nun folgendes vorgerechnet: wenn man sich auf der x-Achse in Richtung [mm] \infty [/mm] bewegt, laufen die Funktionswerte gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Also ist gewiß das zuvor errechnete Minimum kein globales.
Du könntest auch einen Punkt angeben, an welchem Dein lokales Minimum "unterboten" wird.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank für eure Antworten!
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Vielen Dank. Das habe ich nun verstanden, aber wie müsste das Ergebnis lauten, falls es ein globales Maximum gewesen wäre? Ein Punkt über (4;5) oder? Also quasi, wenn ich y= 0 gesetzt habe beispielsweise 5 das Ergebnis gewesen wäre?!
Kann ich also, wenn nach der Überprüfung auf ein globales Maximum gefragt wird, die Funktion einfach immer gegen [mm] -\infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] laufen lassen?
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> Vielen Dank. Das habe ich nun verstanden, aber wie müsste
> das Ergebnis lauten, falls es ein globales Maximum gewesen
> wäre?
Hallo,
wenn es ein globales Minimum gewesen wäre, dann wäre für jedes [mm] \vektor{x_n\\y_n}, [/mm] welches gegen in einer oder beiden der Komponenten gegen [mm] \pm \infty [/mm] geht, der Grenzwert der Funktionswerte >f(4,5) gewesen.
Manchmal sieht man sowas auch der Funktionsgleichung schon an, z.B. wenn man f(x)= [mm] x^2-8x +y^2-10x [/mm] +41 = [mm] (x-4)^2 +(x-5)^2 [/mm] hat.
> Ein Punkt über (4;5) oder? Also quasi, wenn ich y= 0
> gesetzt habe beispielsweise 5 das Ergebnis gewesen wäre?!
>
> Kann ich also, wenn nach der Überprüfung auf ein globales
> Maximum gefragt wird, die Funktion einfach immer gegen
> [mm]-\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] laufen lassen?
Ja. Aber wenn Du es irgendwie anders siehst, ist der "irgendwie andere" Weg der schnellere.
Gruß v. Angela
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Super. Vielen Dank für die schnelle und verständliche Antwort!
Ein Schönes Restwochenende noch!
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