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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Phlipper |
Aus dem Intervall [0, 1) ziehe man zufällig gemäß der Gleichverteilung eine Zahl [mm] \omega [/mm] und schreibe diese Zahl in Dualschreibweise auf, d.h.
[mm] \omega [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{ \infty}\omega [/mm] j/ [mm] 2^{j} [/mm] = [mm] 0,\omega1\omega2
[/mm]
wobei man für dyadisch rationale Zahlen die endliche Darstellung verwende, also
z.B. 1/2 = 0,1 und nicht 1/2 = 0; 0111... . Man definiere nun zufällige Größen Xj ,
j [mm] \in [/mm] N, durch [mm] Xj(\omega) [/mm] := [mm] \omega [/mm] j .
(a) Zeigen Sie P(Xj = 0) = P(Xj = 1) = 1=2 für j [mm] \in [/mm] N.
(b) Beweisen Sie, dass für jedes n [mm] \in [/mm] N stets X1;...;Xn unabhängig sind.
(c) Seien umgekehrt zufällige Größen X1;X2;
mit den Eigenschaften (a) und (b) gegeben, so definiert man die zufällige Größe U durch
U := [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} Xj/2^{j}
[/mm]
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von U.
Hinweis: Berechnen Sie zuerst P(U [mm] \le [/mm] t) für dyadisch rationale Zahlen
Also ich habe mir überlegt,dass man a) mit Bernoulli-Schemalösen kann,denn man hat einen Versuch und einmal Erfolg und der Erfolg ist gerade ½ oder habe ich da einen Denkfehler.
b) Ist ja logisch,dass sie unabhängig sind, aber ich weiß nicht,wie ich es aufschreiben soll.
c) Mit der Verteilungsfunktion habe ich immer meine Schwierigkeiten. P(U [mm] \le [/mm] 1) = 1, oder wie ist der Hinweis gemeint ?
Würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Phlipper!
Nur der Dokumentation wegen, die Fälligkeit ist ja längst abgelaufen:
> Aus dem Intervall [0, 1) ziehe man zufällig gemäß der
> Gleichverteilung eine Zahl [mm]\omega[/mm] und schreibe diese Zahl
> in Dualschreibweise auf, d.h.
>
> [mm]\omega[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{ \infty}\omega[/mm] j/ [mm]2^{j}[/mm] =
> [mm]0,\omega1\omega2
[/mm]
> wobei man für dyadisch rationale Zahlen die endliche
> Darstellung verwende, also
> z.B. 1/2 = 0,1 und nicht 1/2 = 0; 0111... . Man definiere
> nun zufällige Größen Xj ,
> j [mm]\in[/mm] N, durch [mm]Xj(\omega)[/mm] := [mm]\omega[/mm] j .
> (a) Zeigen Sie P(Xj = 0) = P(Xj = 1) = 1=2 für j [mm]\in[/mm] N.
(a) Für jedes $j$ ist [mm] $P(X_j=0)$ [/mm] eine disjunkte Vereinigung rechtshalboffener Teilintervalle von $[0,1)$. Summiert man die Lebesgue-Maße auf, erhält man mit der geometrischen Reihe immer [mm] $\frac{1}{2}$. [/mm]
> (b) Beweisen Sie, dass für jedes n [mm]\in[/mm] N stets X1;...;Xn
> unabhängig sind.
Das ist dann Rumrechnerei, wenn man sich überlegt, wie die Schnitte aussehen.
> (c) Seien umgekehrt zufällige Größen X1;X2;
mit den
> Eigenschaften (a) und (b) gegeben, so definiert man die
> zufällige Größe U durch
>
> U := [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} Xj/2^{j}
[/mm]
> Bestimmen Sie die
> Verteilungsfunktion von U.
> Hinweis: Berechnen Sie zuerst P(U [mm]\le[/mm] t) für dyadisch
> rationale Zahlen
Für eine dyadische Zahl [mm] $\sum\limits_{j=1}^n \frac{\omega_j}{2^j}$ [/mm] zeigt man:
[mm] $P\left( U \le \sum\limits_{j=1}^n \frac{\omega_j}{2^j} \right)$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{{j=1} \atop {\omega_j = 1}}^n \omega_j \frac{1}{2^j}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{j=1}^n \frac{ \omega_j}{2^j}$,
[/mm]
also
$P(U [mm] \le [/mm] x)=x$
für alle dyadischen Zahlen. Aus Stetigkeitsgründen folgt das dann auch für alle reellen Zahlen, d.h. $U$ ist Rechteck-verteilt (gleichverteilt) auf $[0,1)$.
Die Details überlasse ich den Lesern zur Übung. 
Liebe Grüße
Stefan
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