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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 So 23.05.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
ich werde hier langsam Stammkunde  , aber ich komme einfach nicht weiter.
Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:
I $3x+2y=3$
II $xy=3$
Zuerst loest man I nach $y$ auf und erhaelt [mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$. [/mm] Das setzt man in II ein und erhaelt schliesslich [mm] $x^2-x+2=0$. [/mm] Mit der p-q-Formel bekommt man [mm] $x_1=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] als die zu [mm] $x_1$ [/mm] konjugiert komplexe Zahl.
Jetzt dachte ich eigentlich, dass man [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] in eine der beiden Gleichungen I oder II einsetzen und somit [mm] $y_1$ [/mm] bzw. [mm] $y_2$ [/mm] ermitteln kann. Bei II funktioniert das auch:
$xy=3 [mm] \gdw y=\frac{3}{x}=\frac{3}{\frac{1+\sqrt{7}i}{2}}=\frac{6}{1+\sqrt{7}i}$
[/mm]
Bei I komme ich allerdings nicht auf das richtige Ergebnis:
$3x+2y=3 [mm] \gdw y=\frac{3-3x}{2}=\frac{3-3(\frac{1+\sqrt{7}i}{2})}{2}=\frac{6-3(1+\sqrt{7}i)}{4}=\frac{3-3\sqrt{7}i}{4}$
[/mm]
Habe ich mich hier verrechnet (habe es jetzt schon mehrere male von neuem berechnet und auch eine andere Aufgabe gerechnet, bei der das selbe Problem auftritt)?
Ach ja, beim Gleichungssystem
I $x+y=1$
II [mm] $x^2+y^2=13$
[/mm]
(das als Beispiel im Buch vorhanden ist) klappt das ganze.
Sieht jemand den Fehler?
Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 So 23.05.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Paulus,
> > Bei I komme ich allerdings nicht auf das richtige
> > Ergebnis:
> >
> > $3x+2y=3 [mm] \gdw [/mm]
> >
> [mm] y=\frac{3-3x}{2}=\frac{3-3(\frac{1+\sqrt{7}i}{2})}{2}=\frac{6-3(1+\sqrt{7}i)}{4}=\frac{3-3\sqrt{7}i}{4}$
[/mm]
> >
> > Habe ich mich hier verrechnet (habe es jetzt schon
> mehrere
> > male von neuem berechnet und auch eine andere Aufgabe
> > gerechnet, bei der das selbe Problem auftritt)?
> >
>
> Nein, du hast dich nicht verrechnet!
>
> Ich denke, man sollte sich generell angewöhnen, die Wurzeln
> aus dem Nenner eines Bruches durch geschicktes Erweitern zu
> eliminieren:
>
> [mm]\bruch{1}{a+b\wurzel{c}} = \bruch{a-b\wurzel{c}}{(a+b\wurzel{c})*(a-b\wurzel{c})} = \bruch{a-b\wurzel{c}}{a^2-b^{2}c}[/mm]
>
>
> Auf deine obige Lösung übertragen ergibt sich dann wohl:
>
> [mm]y = \bruch{6}{1+\wurzel{7}i} = \bruch{6*(1-\wurzel{7}i)}{(1+\wurzel{7}i)(1-\wurzel{7}i)} = \bruch{6*(1-\wurzel{7}i)}{8}[/mm]
>
>
> Was offensichtlich dasselbe ist wie das Ergebnis, das du
> nach Einsetzen in Gleichung II) erhalten hast. 
Oh, daran hatte ich jetzt wirklich nicht gedacht. Danke!
> Uebrigens: ich hätte nicht in I) eingesetzt, da du doch
> bereits I) nach y aufgelöst hattest:
>
>
> [mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$
[/mm]
Wieso das? Entstehen irgendwelche Nachteile wenn ich I) verwende und ich die Gleichung bereits nach y aufgeloest hatte oder wieso wuerdest Du I) nicht nehmen?
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 So 23.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Michael,
> Wieso das? Entstehen irgendwelche Nachteile wenn ich I)
> verwende und ich die Gleichung bereits nach y aufgeloest
> hatte oder wieso wuerdest Du I) nicht nehmen?
Nein, und in diesem Fall macht es auch keinen großen Unterschied.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Mo 24.05.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Stefan,
> Aber im Allgemeinen ist es natürlich zweckmäßig, diejenige
> Variable, nach der man zunächst aufgelöst hat, einzusetzen
> und nicht etwas zweimal nach der gleichen Variablen
> aufzulösen und die beiden "rechten Seiten"
> gleichzusetzen.
also entweder ist es schon zu spaet und ich stehe auf dem Schlauch oder sollte der Satz von Paul
"Uebrigens: ich hätte nicht in I) eingesetzt, da du doch bereits I) nach y aufgelöst hattest"
so lauten:
"Uebrigens: ich hätte nicht in II) eingesetzt, da du doch bereits I) nach y aufgelöst hattest"
Falls ja, dann ist alles klar.
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:36 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Sorry,
es ist wirklich schon spät. Mein Kommentar machte irgendwie keinen rechten Sinn.
Am besten ist, Paul sagt selber noch einmal, was er genau meinte.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michael
entschuldige bitte die kleine Verwirrung. Ich habe mich auf deinen folgenden Kommentar bezogen:
--------------- Zitat-Anfang ------------
Zuerst loest man I nach $y$ auf und erhaelt [mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$. [/mm] Das setzt man in II ein und erhaelt schliesslich [mm] $x^2-x+2=0$. [/mm] Mit der p-q-Formel bekommt man [mm] $x_1=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] als die zu [mm] $x_1$ [/mm] konjugiert komplexe Zahl.
Jetzt dachte ich eigentlich, dass man [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] in eine der beiden Gleichungen I oder II einsetzen und somit [mm] $y_1$ [/mm] bzw. [mm] $y_2$ [/mm] ermitteln kann.
--------------- Zitat-Ende ------------
Du schreibst dabei ganz am Anfang, dass du I) nach $y$ auflöst, und dann am Ende, dass man [mm] $x_1$ [/mm] oder [mm] $x_2$ [/mm] in Gleichung I) einsetzt.
... und dabei dachte ich mir, es könnte ja sein (im Allgemeinen), dass das Auflösen nach $y$ in der 1. Gleichung recht aufwändig sein könne. Wenn du nun dein [mm] $x_1$ [/mm] oder [mm] $x_2$ [/mm] in I) einsetzt, musst du das ganze Auflösen nach $y$ nochmals durchführen!
Da du aber das Ganze schon gemacht hast, (in diesem Beispiel: [mm] $y=\frac{3}{2}(1-x)$, [/mm] kannst du doch einfach hier einsetzen und nicht bei der ursprünglichen Gleichung I)
Zugegeben, in diesem Beispiel bedeutet das keine grosse Erleichterung, aber so allgemein gesprochen...
Liebe Grüsse
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