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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Gleichungssystem mit Parameter

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Gleichungssystem mit Parameter: Korrektur und Hilfe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:06 Mi 04.02.2015
Autor:	rsprsp

Aufgabe

 Gegeben ist die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems :

(A,b) = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 & | & 1 \\ 1 & 8 & 21 & | & 3  \\ 1 & 9 & u & | & 5  }
 [/mm]

a)Für welche Werte des Parameters u ∈ R ist das zugehörige lineare Gleichungssystem nicht lösbar?

b)Bestimmen sie den Lösungsraum für den Parameterwert u = 1.

c) Für alle anderen Werte von u bestimmen Sie die reduzierte Zeilen-Stufenform der einfachen Koeffizientenmatrix.

d) Bestimmen Sie den Lösungsraum des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems in Abhänigkeit vom Parameter u.

Lösungen:
a) u=4/5
b) L = [mm] \vektor{-21 \\ 2 \\ 8} [/mm]

Edit:
c)
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & | & \bruch{-104}{25u-20} - \bruch{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \bruch{8}{25u-20} + \bruch{2}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \bruch{8}{5u-4} } [/mm]

d) L = [mm] \vektor{ \bruch{-104}{25u-20} \\ \bruch{8}{25u-20} \\ \bruch{8}{5u-4} } [/mm] + [mm] \vektor{ \bruch{1}{5} \\ \bruch{2}{5} \\ 0 } [/mm]

Sind die Aufgaben richtig ?

Bezug

Gleichungssystem mit Parameter: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	20:49 Mi 04.02.2015
Autor:	meili

Hallo,

> Gegeben ist die erweiterte Koeffizientenmatrix eines
> linearen Gleichungssystems :
>
> (A,b) = [mm]\pmat{ 1 & 3 & 2 & | & 1 \\ 1 & 8 & 21 & | & 3 \\ 1 & 9 & u & | & 5 }[/mm]
>
> a)Für welche Werte des Parameters u ∈ R ist das
> zugehörige lineare Gleichungssystem nicht lösbar?
>
>
> b)Bestimmen sie den Lösungsraum für den Parameterwert u =
> 1.
>
> c) Für alle anderen Werte von u bestimmen Sie die
> reduzierte Zeilen-Stufenform der einfachen
> Koeffizientenmatrix.
>
> d) Bestimmen Sie den Lösungsraum des zugehörigen
> homogenen linearen Gleichungssystems in Abhänigkeit vom
> Parameter u.
>

$A = [mm] \pmat{1 & 3 & 2 \\ 1 & 8 & 1 \\ 1 & 9 & u}$ [/mm] ?
Dann:

> Lösungen:
> a) u=4/5

> b) L = [mm]\vektor{-21 \\ 2 \\ 8}[/mm]

>
> Edit:
>  c)
>  [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & | & \bruch{-104}{25u-20} - \bruch{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \bruch{8}{25u-20} + \bruch{2}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \bruch{8}{5u-4} }[/mm]

Hier hast du zuviel gemacht.
Es reicht A (einfache Koeffizientenmatrix) auf eine obere Dreiecksmatrix
mit Einsen auf der Diagonale zu bringen.

>
> d) L = [mm]\vektor{ \bruch{-104}{25u-20} \\ \bruch{8}{25u-20} \\ \bruch{8}{5u-4} }[/mm]
> + [mm]\vektor{ \bruch{1}{5} \\ \bruch{2}{5} \\ 0 }[/mm]

Gesucht ist der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystem

[mm] $\pmat{1 & 3 & 2 & | & 0 \\ 1 & 8 & 1 & | & 0 \\ 1 & 9 & u & | & 0 }$ [/mm]

>
> Sind die Aufgaben richtig ?

Gruß
meili