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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hallo, ich habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich noch nich mal wirklich einen Ansatz habe...
Sei
Ax = 0 (1)
ein homogenes Gleichungssystem in n Unbekannten. Zeigen Sie, es gibt eine nicht negative Zahl r [mm] \le [/mm] n und Lösungen [mm] x_{1},...,x_{r} [/mm] von (1) derart, dass sich jede Lösung des Systems (1) in der Gestalt
[mm] t_{1}x_{1} [/mm] + ... + [mm] t_{r}x_{r} [/mm]
schreiben lässt mit Zahlen [mm] t_{1},...,t_{r}. [/mm] Zeigen Sie weiter, die Lösungen (1) bilden einen Vektorraum.
Als "Ansatz" habe ich, dass man für Ax = 0 doch auch schreiben könnte:
[mm] a_{11}x_{1} [/mm] + [mm] a_{12}x_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{1r}x_{r} [/mm] = 0
[mm] a_{21}x_{1} [/mm] + [mm] a_{22}x_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{2r}x_{r} [/mm] = 0
[mm] \vdots [/mm]
[mm] a_{n1}x_{1} [/mm] + [mm] a_{n2}x_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{nr}x_{r} [/mm] = 0
Und dass ich die Lösungen als Vektoren schreiben kann in der Form:
[mm] \vektor{x_{1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0}, \vektor{0 \\ x_{2} \\ \vdots \\ 0} [/mm] ,..., [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \vdots \\ x_{r}} [/mm] und darauf quasi die 8 Regeln anwende (Einselement existiert,...). Aber muss ich da wirklich alle 8 durchgehen, um zu zeigen, dass es ein Vektorraum ist?!
Aber weiter komm ich irgendwie nich. Ich hab da überhaupt keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll...
Also vielleicht findet sich ja jemand, der mir helfen kann =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:34 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zeige am besten zuerst, dass die Lösungen dieses homogenen LGS einen Unterraum des [mm] $\IR^n$ [/mm] bilden. Dann ist sofort klar, dass dieser Unterraum auch eine Basis besitzt und dass damit solche [mm] $x_1,\ldots,x_r$ [/mm] existieren.
Du musst dazu nur die drei folgenden Punkte zeigen:
1) $A [mm] \cdot [/mm] 0=0$
2) $Ax=0$, $Ax'=0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A(x+x')=0$
3) $Ax=0$, [mm] $\lambda \in \IR$ $\Rightarrow$ $A(\lambda [/mm] x)=0$.
Nutze hier aus, dass $x [mm] \mapsto [/mm] Ax$ linear ist...
Liebe Grüße
Stefan
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